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Université Paris SaclayMaster 1 Analyse, Modélisation, SimulationP.

GabrielIntroduction à l"analyse fonctionnelleet aux équations aux dérivées partiellesTable des matières1 Espaces vectoriels normés (rappels) 31.

1) Topologie des espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.

2) Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.

3) Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Analyse hilbertienne82.

1) Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.

2) Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.

3) Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.

4) Deux résultats importants dans les Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.

5) Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Distributions et espaces de Sobolev 163.

1) Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163.

2) Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203.

3) Traces et formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Exemples d"équations aux dérivées partielles 274.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.2 Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281IntroductionLe but de ce cours est d"introduire les bases d"analyse fonctionnelle nécessaires à l"étude de certaineséquations aux dérivées partielles (stationnaires, de type elliptique).Pour donner une idée des problèmes qui vont nous intéresser, considérons l"équation différentielle suivanteu2pxq fpxq;0 x 1;(1)avec les conditions au bord dites de Dirichletup0q up1q 0;oùfest une fonction continue donnéedéfinie surr0;1s:La question que l"on se pose est alors de savoir s"il existe une (unique) solutionuPC2p0;1q XC0pr0;1sqà ce problème.Celui-ci peut se résoudre explicitement en intégrant deux fois l"équation (1) et en utilisant les conditionsau bord.

Cependant il existe une autre méthode qui consiste à reformuler le problème et qui aura l"avantagede pouvoir se généraliser à une plus grande classe d"équations aux dérivées partielles.

Pour cela considéronsune fonctionvPC1p0;1q XC0pr0;1sqvérifiant les mêmes conditions de bord queu;à savoirvp0q vp1q 0;et intégrons l"équation (1) contrev:On obtient grâce à une intégration par parties10u1pxqv1pxqdx10fpxqvpxqdx:(2)On peut alors montrer queuest solution du problème de départ si et seulement siuPX: tvPC1p0;1q XC0pr0;1sq; vp0q vp1q 0uetuvérifie (2) pour toute fonction testvPX:C"est ce que l"on appelle laformulation variationnelledu problème.Après des rappels sur les espaces vectoriels normés dans la première partie du cours, nous allons démontrerdans une deuxième partie un théorème qui permet d"assurer l"existence et l"unicité d"une solution pour leproblème variationnel, mais dans des espaces fonctionnels vérifiant des propriétés qui ne sont pas satisfaitesparX:Ce qui nous amènera dans une troisième partie à définir les "bons" espaces de fonctions en faisantappel à la théorie des distributions.

Enfin dans une quatrième partie nous allons étudier plus en détails deséquations aux dérivées partielles classiques provenant de la mécanique.21 Espaces vectoriels normés (rappels)Définition 1.1(Norme).SoitEun espace vectoriel surKRouC:Une fonction} }:EÑRestappeléenormesurEsi elle vérifie les conditions suivantes(i)@PK;@xPE;}x} ||}x};(iii)}x} 0ùñx0:Le couplepE;} }qest alors appeléespace vectoriel normé(e.v.n.).1.

1) Topologie des espaces vectoriels normésPour toutxdans un e.v.n.pE;} }qetr¡0on notela boule ouverte (resp. fermée) de centrexet de rayonr:Un sous-ensemble deEest dit borné s"il est inclusdans une boule.Définition 1.2(Ensemble ouvert/fermé).On dit que•U€Eestouvertsi pour toutxPU;il exister¡0tel queBpx;rq €U;•F€EestfermésiEzFest ouvert,Définition 1.3(Intérieur, adhérence, frontière).Pour un ensembleA€Eon définit•l"intérieurdeAparA: txPA;Dr¡0; Bpx;rq €Au;•l"adhérencedeAparA: txPE;@r¡0; Bpx;rq XA Hu;•lafrontièredeAparBA:AzA:Exercice.Montrer queAest le plus grand ouvert inclus dansAet queAest le plus petit fermé contenantA:Ceci montre en particulier queAest ouvert (resp. fermé) ssiAA(resp.AA).Exercice.SoitAun sous-ensemble non vide d"un e.v.n.pE;} }q:Pour toutxPEon définitdpx;Aq:inft}xy};yPAu:Montrer quexPAðñdpx;Aq 0:Définition 1.4(Densité).Un sous-ensembleAd"un e.v.n.pE;} }qest ditdensesiAE:Définition 1.5(Suites convergentes).On dit qu"une suitepxnqnPNd"un e.v.n.pE;} }qestconvergentes"ilexistexPEtel que@¡0;Dn0PN;@n¥n0; xnPBpx;q;ou autrement dit@¡0;Dn0PN;@n¥n0;}xnx} :On dit alors quexest la limite depxnqnPN(ou quepxnqnPNconverge versx) et on notelimnÑ8xnx(ouxnÑx).Proposition 1.6(Caractérisation séquentielle de l"adhérence).L"adhérenceAd"une partieAd"un e.v.n.pE;} }qest l"ensemble des limites des suites deA:Exercice.SoitFun sous-espace vectoriel d"un e.v.n.pE;}}q:Montrer que l"adhérenceFdeFest aussi unsous-espace vectoriel deE:Définition 1.7(Point d"adhérence).SipxnqnPNest une suite d"éléments d"un e.v.n.pE;} }q;unpointd"adhérencedepxnqnPNest un élémentaPEtel qu"il existe une sous-suite depxnqnPNqui converge versa:3Définition 1.8(Compacité).On dit qu"un sous-ensembleKd"un e.v.n.pE;}}qestcompactsi toute suited"éléments deKadmet un point d"adhérence dansK:Exercice.Montrer en raisonnant par l"absurde que tout ensemble compact est fermé et borné.Théorème 1.9.Un sous-ensemble d"un espace vectoriel de dimension finie est compact si et seulement si ilest fermé et borné.Remarque 1.10.En fait un théorème dû à Riesz assure même qu"un e.v.n.pE;}}qest de dimension finiesi et seulement si la boule unité ferméBp0;1qest compacte.Définition 1.11(Relative compacité).On dit qu"un ensemble estrelativement compactsi son adhérenceest compacte.Définition 1.12(Continuité).SoientpE;} }EqetpF;} }Fqdeux e.v.n. et soit une applicationf:EÑF:On dit quefestcontinueenxPEsi pour tout ouvertUdeFcontenantfpxq, le pointxest dans l"intérieurdef1pUq.Proposition 1.13.SoientpE;}}EqetpF;}}Fqdeux e.v.n.,f:EÑFetxPE:Les propriétés suivantessont équivalentes :(i)fest continue enx;(ii)@¡0;D¡0;@yPE;}xy}E ùñ }fpxq fpyq}F ;(iii)p ourtoute suite pxnqnPNdeEqui converge versx;la suitepfpxnqqnPNconverge versfpxqdansF:Proposition 1.14.SoientpE;}}EqetpF;}}Fqdeux e.v.n. et soitf:EÑFune application continue.

SiK€Eest compact alorsfpKqest compact dansF:Corollaire 1.15.SiKest un sous-ensemble compact d"un e.v.n., alors toute fonctionf:KÑRcontinueest bornée et atteint ses bornes.Définition 1.16(Continuité uniforme).SoientpE;}}EqetpF;}}Fqdeux e.v.n. etf:EÑF:On dit quefest une applicationuniformément continuesi@¡0;D¡0;@px;yq PE2;}xy}E ùñ }fpxq fpyq}F :Théorème 1.17(Heine).Toute fonction continue sur un ensemble compact est uniformément continue.Démonstration.SoientpE;} }EqetpF;} }Fqdeux e.v.n. et soitKun sous-ensemble compact deE:Onraisonne par contraposée.

Supposons quef:KÑFn"est pas uniformément continue.

Alors il existe¡0tel que pour tout¡0l"implication}xy}E ùñ }fpxq fpyq}F soit fausse pour certainsxety:En considérant1{non peut donc construire deux suitespxnqnPNetpynqnPNd"éléments deKtelles que@nPN;}xnyn}E 1net}fpxnq fpynq}F¥:L"ensembleKétant compact, on peut extraire depxnqnPNune sous-suitepx'pnqqnPNqui converge vers uncertainlPK:La relation}xnyn}E 1nassure que la suite extraitepy'pnqqnPNconverge également versl:On en déduit que pour tout¡0;il existex;yPBpl;qtels que}fpxq fpyq}F¥;et donc tels que}fpxq fplq}F¥{2ou}fpyq fplq}F¥{2:La fonctionfn"est donc pas continue au pointlPK:Définition 1.18(Normes équivalentes).Deux normes} }1et} }2sur un espace vectorielEsont diteséquivalentessiProposition 1.19.Deux normes équivalentes définissent exactement la même topologie surE(mêmes en-sembles ouverts, fermés, compacts, mêmes suites convergentes, mêmes applications continues ).Proposition 1.20.En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.Exercice(Contre-exemple en dimension infinie).SoitECpra;bs;Rql"espace des fonctions continues surl"intervallera;bsqu"on munit des normes}u}1ba|uptq|dtet}u}8suptPra;bs|uptq|:Montrer que} }1et8sont des normes comparables mais pas équivalentes.41.

2) Applications linéaires continuesProposition 1.21.SoientpE;} }EqetpF;} }Fqdeux e.v.n. et soitL:EÑFlinéaire.

Les propriétéssuivantes sont équivalentes :(i)Lest continue surE;(ii)Lest continue en 0;On noteLpE;Fql"ensemble des applications linéaires vérifiant ces propriétés."LpE;Fqdépend du choix des normes! Par exemple si on considèreECpr0;1s;Rq; FRetL:fÞÑnorme}f}110|fpxq|dx:Proposition 1.22.SoientEetFdeux e.v.n. avecEde dimension finie.

Alors toute application linéaire deEdansFest continue.Proposition 1.23.SipE;} }EqetpF;} }Fqdeux e.v.n. alorsLpE;Fqest un e.v.n. pour la norme~L~LpE;Fq:supxPE;x0}Lpxq}F}x}EsupxPE;}x}1}Lpxq}F:Exercice.On considèreECpr0;1s;Rql"espace des fonctions continues surr0;1sque l"on munit de la norme}u}110|uptq|dt:SoitL:EÑEl"application linéaire définie parLpuqptq tuptq:1.2.En s"aidan tde la suite unptq pn1qtn;montrer que~L~ 1:3.Enfin prouv erqu"il n"existe pas de u0tel que}Lpuq} }u}:Proposition 1.24.On considère trois e.v.n.E; FetG:SiPLpE;FqetPLpF;GqalorsPLpE;GqDéfinition 1.25(Forme linéaire).Uneforme linéaireest une application linéaire d"un espace vectorielEàvaleur dansK:Définition 1.26(Hyperplan).UnhyperplanHd"un espace vectorielEest un sous-espace vectoriel decodimension 1, i.e. tel queDaPEzt0u; EH`Ka:Proposition 1.27.Les hyperplans d"un espace vectoriel sont les noyaux des formes linéaires non nulles.SiEest un e.v.n. etHKerpLq;alorsLest continue si et seulement siHest fermé.Démonstration.•SoitL:EÑKlinéaire non nulle et soitaPE; Lpaq 0:On noteHKerpLq L1pt0uqle noyau deL:On a alorsEH`Ka:En effet sixPEalorshxLpxqLpaqaest bien dansH(Lphq 0) et on a doncxhaavecLpxqLpaq; hPHetaPKa:D"autre part sihaPHXKa;alorsLphq Lpaq 0et donc0eth0: Hest bien un hyperplan.Réciproquement siHest un hyperplan, il existea0tel queEH`Ka:Pour toutxPEil existeun uniquehPHetPKtel quexha:On poseLpxq :On a alors bien queLest une formelinéaire non nulle et queHKerpLq:•SiLest continue alors l"image réciproque des fermés est fermée, doncHL1pt0uqest fermé.Réciproquement supposons queHKerpLqest fermé.

SoitKaune droite supplémentaire.

SiLn"estpas bornée alors il existepxnqnPNvérifiant}xn} 1et|Lpxnq| ÝÝÝÝÑnÑ88:PosonshnaLpaqLpxnqxn:On ahnÑaethnPH(Lphnq 0).

CommeaRH;c"est une contradiction avec le fait queHestfermé.

DoncLest bornée et donc continue.Définition 1.28(Dual topologique).On appelledual topologiqued"un e.v.n.El"e.v.n.E1:LpE;Kq:51.

3) Espaces de BanachDéfinition 1.29(Suite de Cauchy).On dit qu"une suitepxnqnPNd"un e.v.n.pE;}}qest unesuite de Cauchysi@¡0;DNPN;@n;m¥N;}xnxm} :Définition 1.30(Complétude).Un e.v.n.pE;} }qest ditcompletsi toute suite de Cauchy deEconvergedansE:Ces espaces sont également appelésespaces de Banach.Proposition 1.31.Les e.v.n. de dimension finie sont complets.Exercice(Contre-exemple en dimension infinie).Montrer queCpr0;1s;Rqmuni de la norme} }1n"est pascomplet.Proposition 1.33.SoientEun e.v.n etBun Banach.

AlorsLpE;Bqest aussi un espace de Banach pourla norme des applications linéaires continues.Corollaire 1.34.SiEest un e.v.n. alorsE1est un Banach.Démonstration.SoitpfnqnPNune suite de Cauchy dansLpE;Bq:On va montrer quepfnqconverge dansEen trois étapes : identifier la limitef; vérifier quefappartient bien àLpE;Bq; montrer quefnconvergeversfpour la norme deLpE;Bq:dansB:Elle converge donc vers une limite que l"on notefpxq:•Pour toutxPE; yPE; PKon afnpxyq fnpxq fnpyqdonclimnÑ8fnpxyq limnÑ8fnpxq limnÑ8fnpyq fpxyq fpxq fpyq:Doncfest bien linéaire.Soit maintenant¡0et soitNPNtel que~fnfm~ pour tousn;m¥N:On a alors@xPE;@n;m¥N;}fnpxq fmpxq} }x}:On gardenfixé et on fait tendremvers l"infini pourn¥0xnune série dansE:Cette série est ditenormalementconvergentesi la série numérique°n¥0}xn}Eest convergente.Proposition 1.36.Dans un Banach, les séries normalement convergentes sont convergentes.Remarque 1.37.En fait on peut même montrer qu"un e.v.n. est un espace de Banach si et seulement sitoute série normalement convergente et convergente.Théorème 1.38(Prolongement des applications uniformément continues).SoientpE;} }Equn e.v.n. etpF;}}Fqun espace de Banach.

SoitAune partie dense deEet soitf:AÑFune application uniformémentcontinue.

Alors il existe une unique application~f:EÑFcontinue qui prolongef:De plus ce prolongementest uniformément continu.Démonstration.Unicité.

Soientf1etf2deux prolongements continus def:SoientxPEetpxnqnPN€Atelle quexnÑx:On a pour toutn; f1pxnq f2pxnqdonc en passant à la limitef1pxq f2pxq:Existence.SoientxPEetpxnqnPN€Atelle quexnÑx:La suitepxnqnPNest de Cauchy dansE:Commefest uniformément continue, on a aussipfpxnqqnPNde Cauchy dansFqui est complet.

Doncfpxnqconvergevers une limitelqui est indépendante du choix de la suitepxnq:On pose alors~fpxq l:En passant à lalimite dans la définition de l"uniforme continuité defon obtient l"uniforme continuité de~f:6Théorème 1.39(Banach, Picard).SoitpE;} }qun espace de Banach et soitf:EÑE:On suppose quefest une contraction, i.e.Alors il existe un unique point fixexPEpourf;i.e. un uniquexPEtel quefpxq x:Démonstration.Soitx0PEet soitpxnqnPNla suite définie à partir dex0par la relation de récurrencexknDoncpxnqnPNest de Cauchy et, par complétude, elle converge vers un élémentxPE:Puisquefestcontinue on afpxq xen passant à la limite dansxn1fpxnq:L"unicité est une conséquence directede l"hypothèse de contraction.72 Analyse hilbertienne2.

1) Espaces préhilbertiens et espaces de HilbertDans le cas réel (KR), un produit scalaire sur un espace vectoriel est une forme bilinéaire symétriquedéfinie positive.

Dans le cas complexe (KC), c"est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive.Définition 2.1(Produit scalaire).SoitEun espace vectoriel surKRouC:On dit qu"une applicationp;qdeEEdansKest unproduit scalairesi(i)@x;x1;yPE;@PK;pxx1;yq px;yq px1;yq;(ii)@x;yPE;px;yq py;xq;(iii)@xPEzt0u;px;xq ¡0:Muni dep;q; Eest appeléespace préhibertien.Proposition 2.2(Inégalité de Cauchy-Schwarz).SoitEun espace préhilbertien.

Alorsavec égalité si et seulement sixetysont colinéaires.Démonstration.SoientxetydansEet soitun réel tel quepx;yq |px;yq|ei:On définitPpq:pxeiy;xeiyqpour tout réel:PuisqueP¥0;le discriminant de l"équationPpq 0est négatif.Or commePpq px;xq 2|px;yq| 2py;yqcela donne l"inégalité de Cauchy-Schwarz.Les cas d"égalité correspondent à un discriminant nul, ce qui revient à dire quePpeut s"annuler.

Autrementdit il existe0PRtel quexei0y0:Corollaire 2.3.L"application qui àxPEassocie}x}:apx;xq PRest une norme surE:On dit que c"estla norme associée au produit scalaire.Démonstration.Le seul point qui ne soit pas immédiat est l"inégalité triangulaire.

Or grâce à l"inégalité deCauchy-Schwarz on a}xy}2 }x}22Repx;yq }y}2(3)nuepour sa norme associée.Proposition 2.5(Identité de polarisation).Dans tout espace préhilbertien réel (resp. complexe) on a@x;yPE;px;yq 14p}xy}2 }xy}2qresp.px;yq 14p}xy}2i}xiy}2 }xy}2i}xiy}2q:Démonstration.Il suffit d"appliquer (3) ày;y; iyetiyet de combiner les égalités obtenues.Corollaire 2.6.SoitEun espace préhilbertien et soitfune isométrie surE:Alors@x;yPE;pfpxq;fpyqq px;yq:8En suivant la preuve de l"identité de polarisation, on obtient aussi l"identité du parallélogramme.Proposition 2.7(Identité du parallélogramme).SiEest un espace préhilbertien, alors on a@x;yPE;}xy}2 }xy}22p}x}2 }y}2q:Définition 2.8.Un espace préhilbertien complet pour la norme associée au produit scalaire est appeléespacede Hilbert.2.

2) Orthogonalité dans les espaces préhilbertiensDans toute cette partieEdésigne un espace préhilbertien réel ou complexe.Définition 2.9(Orthogonalité).On dit que deux élémentsxetydeEsontorthogonauxsipx;yq 0:Onnote alorsxKy:Théorème 2.10(Pythagore).SixKy;alors}xy}2 }x}2 }y}2:Démonstration.C"est une conséquence immédiate de (3).Définition 2.11.Pour toutxPEon définit l"orthogonaldexparxK: tyPE;px;yq 0u:Et plus généralement, pour tout sous-ensembleA HdeE;on définit l"orthogonal deAparAK: tyPE;@xPA;px;yq 0u:Proposition 2.12.Pour toutA€Enon vide, l"ensembleAKest un sous-espace vectoriel fermé de E, etl"on aAXAK€ t0u:Démonstration.Montrons d"abord queAKest fermé.

SoitpxnqnPNune suite d"éléments deAKconvergeantversxPE:Pour toutyPAet toutnPNon aPar convergence de la suite, le dernier terme tend vers 0 quandntend vers l"infini, et doncxPAK:Montrons maintenant queAKest un sous-espace vectoriel deE:Il est évident queAKcontient 0, et la stabilitépar combinaison linéaire découle de la linéarité du produit scalaire par rapport à la première variable.Enfin siAXAKcontient un élémentxalors cexest orthogonal à lui-même donc est nul.Proposition 2.13.Pour tout sous-ensembleAdeEnon vide on aVectA€ pAKqK:Démonstration.Il est évident queA€ pAKqK:De plus, d"après la proposition précédente, un orthogonal esttoujours un espace vectoriel fermé, doncpAKqKdoit contenirVectAet son adhérence."SiEest de dimension finie etFest un sous-espace vectoriel deEalorsF pFKqK(exercice : ledémontrer).

Mais en dimension infinie l"inclusionF€ pFKqKpeut être stricte.

Nous reviendrons plus loinsur les cas d"égalité.Proposition 2.14.Pour tout sous-ensembleAdeEnon vide on aAKVectAK:Démonstration.Clairement on aA€VectAet doncVectAK€AK:Maintenant sixPAK;la linéarité duproduit scalaire par rapport à la première variable assure quexP pVectAqK;puis la continuité du produitscalaire permet d"obtenir quexPVectAK:9Définition 2.15(Famille orthogonale/orthonormale).On dit qu"une famillepfiqiPId"éléments deEestorthogonalesi l"on a@i;jPI; iiùñ pfi;fjq 0:On dit quepfiqiPIestorthonormalesi de plus}fi} 1pour toutiPI:Proposition 2.16.Soitpf1;;fnqune famille orthogonale constituée de vecteurs tousnon nuls.

Alorscette famille est libre.Démonstration.Supposons que°ni1ifi0:En prenant le produit scalaire de cette égalité avecfjonobtientj}fj}20:Or commefj0on conclut quej0:Proposition 2.17.Soitpe1;;enqune famille orthonormale deEet soitxPVectpe1;;enq:Alorsxn¸i1px;eiqei:Démonstration.Par hypothèse il existe unn-upletpx1;;xnqtel quex°ni1xiei:On en déduit quepx;ejq °ni1xipei;ejq xj:Corollaire 2.18.Soitpe1;;enqune famille orthonormale deEet soientxetydeux éléments deVectpe1;;enq:Alors on apx;yq n¸i1px;eiqpy;eiq:Remarque 2.19.En particulier on retrouve l"égalité de Pythagore}x}2n¸i1|px;eiq|2:Proposition 2.20(Inégalité de Bessel).SoitpenqnPNune suite orthonormale deEet soitxPE:Alors lafamilleppx;enqqnPNest de carré sommable et on a l"inégalité8Démonstration.Pour toutkPNon a en utilisant le corollaire précédentxk¸n0px;enqen;k¸n0px;enqenk¸n0|px;enq|2k¸n0|px;enq|20qui implique par Pythagore que}x}2kn0px;enqen2xk¸n0px;enqen2k¸n0|px;enq|2xk¸n0px;enqen2On en déduit donc que°kexiste une unique famille orthonormalepe1;;enqtelle que(i)@jP t1;;nu;Vectpe1;;ejq Vectpa1;;ajq;(ii)@jP t1;;nu;paj;ejq PR:10Démonstration.On fait une récurrence limitée qu"on initialise en posante11}a1}a1:On a bi