Cinématique du point
Fiche méthode pour analyser une œuvre musicale
Méthode d'analyse d'une œuvre musicale
Guide d'analyse musicale—document de l'élève
Analyse Musicale
Analyse musicale et interprétation
Analyse d'une œuvre musicale 1Présentation Titre: Compositeur
L'analyse musicale comme processus d'appropriation historique
Analyse musicale et interprétation
Analyse fonctionnelle et structurelle des systèmes

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PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINCinématique du pointIntroduction à la mécaniqueDéfinition :MécaniqueLamécaniqueest la branche de la physique qui étudie et quantifie lemou-vementdes objets matériels, dans l"espaceet dans letemps, et proposedes descriptions descausesde ces mouvements.Définition :CinématiqueLacinématiquerecouvre l"étude ou la description mathématique du mou-vement, indépendamment de ses causes éventuelles.

Cela implique laconstruction d"un repérage dans l"espace et dans le temps.

Pour cela onutilise des corps rigides de référence (ex : étoiles, Terre) et des horloges,dont l"association forme unréférentiel.Définition :DynamiqueLadynamiquedécrit les relations entre les causes du mouvement des corpsmatériels et la nature du mouvement lui-même.

Ces relations portent lenom deforces.La mécanique classique a été fondée par l"italienGaliléeet l"anglaisNewton,aux XVIèet XVIIèsiècles.

C"est un socle sur lequel s"appuient largement lesautres branches de la physique.

On y développe des notions fondamentales :énergie, oscillateurs C"est aussi une discipline à part entière.La cinématique du point s"intéresse au mouvement depoints matériels(aussiappelésmobiles).

Elle permet de décrire :le mouv ementdes particulesde petite dimension,le mouvement d"ensembledes systèmes matériels solides ou déformables(ex : un astre, une boule de pétanque, un parachutiste avec son parachute )c"est-à-dire le mouvement ducentre d"inertie.La cinématique du solide permet notamment de décrire lemouvementpropredes solides, qui consiste en des rotations autour d"axes.

Le programme dephysique de CPGE se limite aux solides en translation et en rotation autour d"unaxe fixe.

Les situations plus complexes seront vues en Sciences de l"Ingénieur.Les difficultés qui se présenteront :la b onnedéfinition du système, et desactionsqu"il subit,l" algébrisationdes équations et la projection des relations vectorielles,la résolutionmathématique des équations différentielles obtenues.Repères historiques•Système géocentrique de Plotémée(jusqu"à la fin du moyen-âge) : LaTerre est supposée immobile au centre de l"Univers.•Description du système solaire - Copernic(début XVIès.) : La Terretourne autour du Soleil.•Galilée(1583-1642) : Etude expérimentale de la chute libre et du pendule.Observations diverses du système solaire avec la lunette (dite "de Galilée").•Newton(1687) : Lois fondamentales de la dynamique (principe d"inertie,principe fondamental de la dynamique, principe des actions réciproques).•Mécanique relativiste - Einstein(1905) : On travaille dans un référentielà 4 dimensions équivalentes.

Le temps n"est plus une notion absolue maisdépend du référentiel d"étude.

La mécanique classique demeure valable pourles vitesses faibles devant celle de la lumière (v?c).•Mécanique quantique - Heisenberg(1926) : on ne peut connaître simul-tanément, avec une précision parfaite, la position et la vitesse d"une particule.Au niveau atomique, la trajectoire est remplacée par un champ (la fonctiond"onde), qui donne accès à la probabilité de présence des particules.

La mé-canique quantique peut toutefois se manifester à l"échelle macroscopique pardes effets collectifs spectaculaires (supra-conductivité, super-fluidité, ).•Systèmes dynamiques chaotiques - Lorentz(1960) : Des systèmes non-linéaires, possédant au moins trois degrés de liberté, se comportent de ma-nière aléatoire dans certaines conditions.

Cela signifie qu"on ne peut pré-dire leur évolution au-delà d"une limite temporelle plus ou moins proche.Exemples :pendules faiblement couplés avec frottement non-linéaire, équa-tion de Navier-Stokes de la mécanique des fluides (effet papillon, sensibilitéaux conditions initiales), le cours des valeurs boursières1PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINI.T emps,espace, référentielsI.1.Le temps et sa mesureL"étude du mouvement d"un mobile nécessite un repérage temporel desévéne-ments, c"est-à-dire du passage du mobile en des lieux successifs.

L"écoulement dutemps est repéré grâce à unehorloge, c"est-à-dire n"importe quel système phy-sique au comportementpériodique.

Sa période définit uneunité de temps. Uninstanttest mesuré par la durée le séparant d"un instant de référencet= 0.

Laduréeest mesurée par un procédé de comparaison aux oscillations de l"horloge :on compte le nombreq(entier) d"oscillations entre les instantstiettf, de tellesorte queΔt=tf-ti=q T, oùTest la période des oscillations.Exemple :l"unité de la seconde dans le système international correspond à unnombre entier de périodes d"une certaine radiation électromagnétique del"atome de Cesium 133.Universalité et relativité de l"écoulement du temps :En mécanique classique (Newtonienne), l"écoulement du temps est le même pourtout observateur, quelque soit son mouvement.

On dit que le temps estabsolu.C"est différent en relativité, c"est-à-dire pour des vitesses proches de celle de lalumière.

Le temps s"écoule moins vite dans un référentiel en mouvement rapide(contraction et dilatation des durées).I.2.Référentielsa.DéfinitionsSolide (S) :système matériel indéformable, c"est-à-dire dont les points maté-riels sont à distance constante l"un de l"autre.Référentiel (R) :association d"un solide de référence et d"une horloge.Remarque :comme le temps est absolu en mécanique classique, on assimilesouvent le référentiel à son solide de référence, par abus de langage.Repère :la donnée d"un pointOappeléorigineet d"un système de trois axes(ou trois vecteurs) non coplanaires.Exemple :le repère cartésien(Oxyz)a pour axes(Ox),(Oy)et(Oz).Remarques :•il existe une infinité de repères possibles pour un référentiel.•un repère peut être mobile dans un référentiel (repère lié à un manègeen rotation, à un véhicule en mouvement ).Référentiel et repère fixe :la données de 4 points non coplanaires du solidede référenceSpermet de définir un repère fixe(O,?i,?j,?k)dansR.

Il est alorsd"usage de noter de façon condensée (mais abusive)R= (O,?i,?j,?k),l"horloge étant alors sous-entendue.Exemple :En utilisant le repère cartésien(Oxyz)attaché au solide de réfé-rence avec la BOND(?ux,?uy,?uz), on note le référentielR= (O,?ux,?uy,?uz).Position du mobile :la donnée de trois coordonnées d"espace relatives au re-père choisi.Exemples :(x,y,z)(cartésiennes),(r,θ,z)(cylindro-polaires) ou(r,θ,?)(sphériques).Événement :la donnée de trois coordonnées d"espace et d"une de temps.Exemple :(x,y,z,t).

Le pointMest en(x,y,z)à l"instantt.Trajectoire (d"un mobileM) :courbe formée par l"ensemble des positionssuccessives occupées par le mobile.Exemples :Trajectoire-rectiligne: c"est une droite (ex : chute libre sans vitesse initiale).-circulaire: c"est un cercle (ex : électron autour du noyau, satellite).-elliptique, parabolique, hyperbolique: c"est une conique (ex : mou-vement des astres, masse au bout d"un ressort sur un plan).-cycloïdale: combinaison circulaire + rectiligne dans le plan du cercle(ex : valve de roue de vélo).-hélicoïdale: combinaison circulaire + rectiligne orthogonal au cercle(ex : point d"une hélice d"avion).Remarque :la trajectoire d"un mobiledépend du référentield"observa-tion de son mouvement.Distance curviligne :longueur du chemin courbe emprunté par le mobile pouraller d"un point à un autre (ex : mouvement le long d"un cercle, sur unesphère ).

Cette longueur dépend de la trajectoire.Vocabulaire :une grandeur peut être-constante: elle ne dépend pas du temps (contraire :variable).-uniforme: elle ne dépend pas des coordonnées d"espace (même valeur entout lieu).-invariante: elle ne dépend pas du référentiel d"étude (contraire :relative).

2) PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINb.Mouvements relatifs de solides/référentielsCertains référentiels ditsgaliléensseront privilégiés par la suite, pour l"étudede la dynamique.

Pour les distinguer, il faut savoir classer leur différents typesde mouvements relatifs (ou plus précisémment les mouvements relatifs de leurssolides de référence).Définitions :R2est entranslationpar rapportR1si tout axefixe dansR2reste parallèle à un axe fixe dansR1(donc garde une direction fixe dansR1).R2est entranslation rectiligne/circulaireparrapportR1s"il est en translation par rapportR1et qu"au moins un point deR2a un mouvementrectiligne/circulaire dansR1.R2est enrotationautour de l"axeΔfixe dansR1siΔest aussi fixe dansR2.SCHEMASCHEMASCHEMAc.Exemples de référentielsRéf. héliocentrique (R?) :formé par le centre du Soleil pour origine et unsystème de trois axes qui pointent vers des étoiles pratiquement fixes.Réf. de Copernic (RC) :comme le réf. héliocentrique sauf que l"origine estplacée au centre d"inertie (ou centre de masse) du système solaire.Réf. géocentrique (RG) ou planéto-centrique :comme le réf. héliocen-trique sauf que l"origine est placée au centre d"inertie de la Terre (de laplanète).RGest (approximativement) en translation circulaire par rapport àR?(ouRC).Réf. terrestre (RT) :lié à la Terre, tournant avec elle autour de l"axe despôles.RTest en rotation par rapport àRGautour de l"axe des pôles.I.3.Dérivation temp orelled"une fonction vecto rielledu tempsa.F onctionvecto rielleDéfinition :Fonction vectorielle d"une variables(temps, coordonnée )F:R→R3s?→-→F(s) = (F1(s),F2(s),F3(s))Le vecteur peut-être décomposé sur une base locale quelconqueindé-pendante des:-→F(s) =Fx(s)?ex+Fy(s)?ey+Fz(s)?ezDéfinition :Dérivation d"une fonction vectorielleF?(s) = limε→0-→F(s+ε)--→F(s)ε=d-→Fds(s)•d-→F: notation pour-→F(s+ε)--→F(s)avecεtrès petit.•ds: notation pours+ε-savecεtrès petit.Propriétés :•(-→F .-→G)?=-→F?.-→G+-→F .-→G?•(-→F?-→G)?=-→F??-→G+-→F?-→G?•soitfune fonction scalaire des:(f.-→F)?=f?.-→F+f.-→F?.Propriété :Vecteur de norme indépendante des(ex : vecteur unitaire)||?u||=cte???u.d?uds= 0Si un vecteur est fonction d"une variable maisde norme constante, alorssadérivée est orthogonale à lui-même.

3) PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA. MARTINb.Dérivation temp orelleOn s"intéresse maintenant à des fonctions du temps :s=t.

On se place dans unréférentielR.ÔFonctionscalaire:f(t)admet pour dérivéef?(t) =dfdt=f(t).Propriété :La dérivée d"une fonction scalaire ne dépend pas duréférentiel d"étude.ÔFonctionvectorielle: on décompose-→A(t)dans une baseB= (?ex, ?ey,?ez),d"où-→A(t) =Ax(t)?ex+Ay(t)?ey+Az(t)?ezConsidérons un référentielRdans lequel la baseBest fixe, et un autreréférentielR?dans lequelBest mobile(donc fonction det).•Dérivée par rapport àR:d-→Adt?????R=Ax(t)?ex+Ay(t)?ey+Az(t)?ez•Dérivée par rapport àR?:d-→Adt?????R?=Ax(t)?ex+Ay(t)?ey+Az(t)?ez+Ax(t)d?exdt????R?+Ay(t)d?eydt????R?+Az(t)d?ezdt????R?doncd-→Adt?????R?=d-→Adt?????R+Ax(t)d?exdt????R?+Ay(t)d?eydt????R?+Az(t)d?ezdt????R?Propriété :A priorid-→Adt???R??=d-→Adt???R.Conclusion :Pour une fonction vectorielle, on précise toujours leréférentiel par rapport auquel on dérivea:d-→Adt???Ra.

On n"utilise donc jamais la notation simplifiée avec un point au dessus du vecteur Propriété :SiR?esten translationpar rapport àR, alors la baseBfixedansRest aussi fixe dansR?, donc on adans ce cas uniquementd-→Adt?????R?=d-→Adt?????R.Remarque :On montre en cours de SI qu"il existe unvecteur rotationdeRpar rapportàR?, noté-→ΩR/R?, qui vérifie pourB= (?ex, ?ey, ?ez)fixe dansR:d?exdt?R?=-→Ω??ex,d?eydt?R?=-→Ω??eyetd?ezdt?R?=-→Ω??ezce qui conduit à la formule de changement de référentiel (formule de Bour)1:d-→Adt?R?=d-→Adt?R+-→ΩR/R??-→Ac.Utilisation des vecteurs unitaires (de no rmecons tante)Propriété :Dérivation de-→A(t) =A(t)?uaavec||?ua||= 1 =constante.d-→A(t)dt?????R=A(t).?ua????Allongement+A(t).d?uadt????R????RotationLa dérivée d"un vecteur peut toujours se décomposer en la somme :d"un terme expriman tson changement de norme(Allongement);d"un terme expriman tson changement de direction(Rotation), car?ua.d?uadt??R= 0.1.

Les changements de référentiel n"étant pas spécifiquement abordés en SUP, cette formulene sera pas utile cette année.

4) PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINI.4.Intégration temp orelled"une fonction vecto rielledu tempsd?A(t)dt?????R=?B(t),?t?[t0,tf].Pour calculer?A(t)sur[t0,tf]deux cas se présentent.•Si?Best en faitindépendant du temps(ie constant), alorsA(t) =?A(t0) +?B .(t-t0)?t?[t0,tf].Démonstration : en projetant?Bdans une base cartésienne indépendante dutemps du référentielR.•Si?Bdépend effectivement du tempsd"une façonconnue(ie dépendanceexplicite) dans une baseBdonnée, alorsil faut projeter?BdansBpuisintégrer le système d"équations scalaires en résultant2.2.

Nous verrons plus loin que dans une base cartésienne fixe dansR, ces équations scalairespeuvent s"intégrer séparément (ie composante par composante), mais si l"on travaille dans unebase cylindro-polaire ou sphérique alors ces équations scalaires sont par contre couplées.II.Vitesse et accélérationOn se place dans un référentielR, muni d"un repère cartésien fixe de centreOet de base(?ux,?uy,?uz)(en abrégé,R= (O,?ux,?uy,?uz)).Définition :La position du point matériel à l"instanttest repérée par levecteur positiona?r(t) =--→OM(t) =x(t)?ux+y(t)?uy+z(t)?uz.a.

Pour alléger les notations, on omettra souvent d"écrire(t)gardant implicite la dépen-dance en temps.II.1.VitesseDéfinition :Le vecteur vitesse indiquecomment va-rie le vecteur positionau cours du temps parrapport à un référentielR.

Il représente lemou-vementobservé dansR.

On le définit de façoninstantanée à l"instanttpar?vM/R= limt?→t-------→M(t)M(t?)t?-t=d--→OMdt?????R=d?rdt????RPropriétés :•?vM/Resttangent à la trajectoire:?vM/R=v.?utavecv=||?vM/R||>0et||?ut||= 1.Ainsi,?vM/Rindique ladirectionet lesensdu déplacement.•?vM/Rdépend du choix du référentielR.•?vM/Rne dépend pas du choix du point fixeOde référence : siO?estaussi fixe dansR, on a par la relation de Chaslesd---→O?Mdt?????R=d--→O?Odt?????R+d--→OMdt?????R=?0 +d--→OMdt?????R.•v=||?vM/R||s"exprime enm.s-1.Théorème :Vitesse dans la base cartésienneSiR= (O,?ux,?uy,?uz)et--→OM=x?ux+y?uy+z?uzalors?vM/R= x?ux+ y?uy+ z?uz5PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINII.2.A ccélérationDéfinition :Le vecteur accélération indiquecom-ment varie le vecteur vitesseau cours dutemps par rapport à un référentielR.

Il repré-sentel"évolution (le changement) du mou-vementobservé dansR.

On le définit de façoninstantanée à l"instanttpar?aM/R= limt?→t?v(t?)-?v(t)t?-t=d?vM/Rdt????R=d2--→OMdt2?????RPropriétés :•Puisque?vM/R=v?ut, alors?aM/R=?at+?anavec?at=dvdt?ut= v?utet?an=vd?utdt????R→?at:accélération tangentielle(changement denorme de la vitesse);→?an:accélération normale(changement dedirection de la vitesse).•?ata le même sens que?vsi le véhicule " accélère », le sens contraire s"ilfreine.•?anest dirigévers la concavitéde la courbe; il indiquedans quel sens lemobile tourne.•?aM/Rdépend du choix du référentielR.•a=||?aM/R||s"exprime enm.s-2.Théorème :Accélération dans la base cartésienneSiR= (O,?ux,?uy,?uz)et--→OM=x?ux+y?uy+z?uzalors?aM/R=

x?ux+ y?uy+

z?uzII.3.Mouvements pa rticuliersDéfinitions :•Mouvementrectiligne:le v ecteurvitesse a une di rectioncons tante.?vM/R=v?utavec?ut=------→constante.•Mouvementuniforme:la nor mede la vitesse est constan te.||?vM/R||=v= constante.•Mouvementcirculaire(de centreO)?OM= constante.Exemples :•Mouvementrectiligne uniforme: le vecteur vitesse est constant, l"accélé-ration est nulle.?vM/R=v0?utavec?ut=-→cteetv0= cte =??aM/R=?0.•Mouvementcirculaire uniforme:?at=?0mais?aM/R=?an?=?0.Le vecteur vitesse tourne donc le mouvement est accéléré!6PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINII.4.Application : mouvement reciligne unifo rmeII.5.Application : mouvement unifo rmémentaccéléréIII.Co ordonnéeset bases non ca rtésiennesIII.1.Co ordonnéeset base de p rojectioncylindro-p olairea.Co ordonnéesb.Base lo calede p rojectionet déplacement élémentairec.Exp ressionsde la vitesse et de l"accélérationd.Application : mouvement circulaireIII.2.Abscisse curviligne et base lo calede F renetIII.3.Co ordonnéeset base de p rojectionsphériquea.Co ordonnéesb.Base lo calede p rojectionet déplacement élémentairec.Exp ressionde la vitesse 7PCSI 1 - Stanislas - Cours - MécaniqueChap.2 : CinématiqueA.

MARTINANNEXE : Méthode générale de tracé d"une trajec-toirePrincipe: le vecteur dérivé du vecteur position (vecteur vitesse lorsque la va-riable est le temps) donne la direction du mouvement car il est tangent à latrajectoire.Définition :Point singulierd"une courbe paramétrée (MATHS).Point tel que la dérivée du vecteur position soit nulle.En particulier : lorsque la variable est le temps,le vecteur vitesse s"an-nule.Conséquence :En présence d"un point singulier, on doit chercher la directiondu mouvement d"une façon spécifique (cf ci-dessous).d.loi ho raire: fo rmepa ramétréepa rle tempsDéfinition :Loi horairec"est la fonctiont→(x(t),y(t),z(t)), qui fournit une équation de la tra-jectoire paramétrée par la variable temps.Autres formes :(r(t),θ(t),z(t))ou encore(r(t),θ(t),?(t)).Remarque :En règle générale, l"application des théorèmes de dynamiqueconduit directement à deslois horaires.TRAJECTOIRE VIA LA LOI HORAIREÔEtude des variations des fonctions coordonnées(x(t),y(t),z(t))(ou(r(t),θ(t),z(t))ou encore(r(t),θ(t),?(t))).ÔLe calcul du vecteur vitesse donne la tangente aux instants intéressants.ÔSi le point est singulier (vitesse nulle), la tangente est alors obtenue par ladirection limite de la vitesse :limite du rapp ortdes 2 comp osantesde ?v;;dév eloppementlimité de--→OM(t):--→OM≈--→OM0+12?a(t0).(t-t0)2(oupousser encore plus loin le développement si l"accélération est nulle).Remarque :2 types de trajectoires sont possibles :•Trajectoire plane: on la dessine dans son plan.•Trajectoire non plane: on en dessine les projections dans des plans judi-cieusement choisis (ex : plans cartésiens).

Une représentation 3D peut êtreobtenue à l"aide d"un logiciel de calcul (ex : python-numpy-matplotlib).e.F ormeintrinsèqueDéfinition :Equation intrinsèque(de la trajectoire deM) : c"est l"équationvérifiée par les coordonnées(x,y,z)lorsqu"on peut éliminer la variabletemps.

Elle peut prendre deux formes :-Implicite:F(x,y) = 0etG(y,z) = 0(ou autre combinaison).ex :x2+y2=R2(cercle);x2a2-y2b2= 1(hyperbole).-Explicite:y=f(x)etz=g(x)(ou autre combinaison).TRAJECTOIRE VIA L"ÉQUATION INTRINSÈQUECartésiennes:•Explicite - exempley=f(x):ÔEtude des variationsy=f(x);Ô?v= x(?ex+dydx?ey), donc-→T=1x?v=?ex+f?(x)?eyest un vecteurtangent (fait office de vecteur vitesse, modulo le signe dex ).ÔRecherche des points particuliers (dont singuliers) avec tangentes.•Implicite : on peut en général expliciter par morceaux la trajectoireSiF(x,y) = 0: le vecteur gradient--→gradFest orthogonal à la tra-jectoire cf cours de MATHS sur les fonctions de plusieurs variables.Cylindro-polaires: en général une relation paramétrée parθ:r=f(θ)etz=g(θ).ÔEtudier les variations der(θ)(z(θ));-→T=1θ?v=drdθ?er+r(θ)?eθ(+dzdθ?ez)est un vecteur tangent.ÔRecherche des points particuliers (dont singuliers) avec tangentes.Sphériques: conduit à une relation para