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Une introduction aux Théor`emes limite en probabilités

Comment utiliser le théorème central limite ?
Le théorème suivant, dit théorème limite central, affirme que c'est effectivement le cas.
Théorème : Soit (Xn) une suite de variables indépendantes identiquement distribuées admettant un moment d'ordre 2.
On pose : μ=E(X1), σ2=Var(X1) μ = E ( X 1 ) , σ 2 = Var ( X 1 ) Sn=X1+⋯+Xn, Yn=Sn−nμσ√n.
Qu'est-ce que le théorème de la limite centrale et pourquoi Est-il important ?
La place du théorème central limite dans l'univers de la Data Science.
Le théorème de limite centrée permet principalement de déterminer l'espérance qu'un phénomène se produise si l'on répète un nombre élevé de fois une expérience aléatoire donnée.
Comment montrer la convergence en loi ?
Pour montrer que (Xn) converge en loi vers X, il suffit de démontrer que pour tout u ∈ Rk, on a E[eiu·Xn ] → E[eiu·Xn ] (théor`eme de Lévy, théor`eme 6.3.9 du poly).
Si la variable aléatoire limite est inconnue, on calcule la limite ψ(u) de E[eiu·Xn ] lorsque n → ∞.
La loi géométrique est la seule distribution de probabilité discr`ete qui poss`ede cette propriété.
En effet, si une variable aléatoire Y `a valeurs dans N satisfait, pour tous n, m ∈ N, p(Y >n + mY >n) = p(Y >m), alors p(Y >m + n) = p(Y >n)p(Y >m).

Comment utiliser le théorème central limite ?