Statistique Appliquée

StatistiqueAppliquéeLucDene ireIannisAliferisÉcolePolytechnique del'UniversitédeNice-S ophiaAntip olisPolytech'NiceSophiaDépartementd'Électronique,3eannée,2008-2009deneire@unice.frIntroduction2Lecourse nbref 3Planducours 4 Bibliographie 5 Évaluation 6Introductionauxprobabilités7Lesprobab ilités:Pourquoifaire? 8 Definitions .

9) Exemple:lancerdeuxdés 1 0Ensembles 11Modèleprobabiliste 12 Propriétés .13 Probabilitéconditionnelle 1 4Unnouv elUnivers .15 Exemple:faussealarme 16Théorèmedeprobabilitétot ale .17 ThéorèmedeBayes 18Inférencebayésienne 1 9Indépendance 2 0Quelquesstratégies 21Compter=multiplier 2 2 oudiviser! .23 VariableAléatoireDiscrète( uneseule)24Définition 2 5V.A.:àusage uni que 2 6Uneparti tionnaturelledel'Univers 27 FonctiondeProbabilité 28Fonctiond'uneV.A 2 9EspérancedeX 3 0Grandeursstatistiques 3 11ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeEspérancedeg(X) 32 Fonctionlinéaire 3 3Calculdelavariance 3 4VariablesAléatoiresDiscrètes (deuxetplus)35Deuxvariable saléatoires 3 6V.A.condit ionnées 37Espéranceconditionnelle 38Indépendance .39 Deuxvariable saléatoiresindépendantes 40Fonctionderépartition .41 Relationlinéaireentredeu xv.a.? 4 2(explorationgraphique) 43(explorationgraphique2) 4 4(conclusion) 4 5Covariance/coefficientdecorrélat ionlin éaire 4 6Indépendance/corrélation .47 VariablesAléatoiresContinues 48Définition 4 9Densitédeprobabilité .5 7Fonctionderépartition .58 Exemple:v.a.uniformeetv. a.normale .59 Fonctiond'uneV.A 6 0Grandeursstatistiques .61 Fonctionlinéaire 62Deuxvariabl esaléatoires 6 3V.A.Condi tionnées 64Espéranceconditionnelle 65Indépendance .66 StatistiqueDescriptive67Quelquesdéfinitions 68Paramètresstatistiquesd'unéch antillon 69Exemple:notesTPÉlec2006-2 007 70 StatistiqueInférentielle:introdu ction71Objectif 7 2Échantillonnage:définition .73 Uneexpér iencealéatoire 74Échantillon:ensembledevariablesaléat oires 75Paramètresstatistiquesd'unéch antillon 76Casspécia l:caractèrequalitatif(l esproportions) 77Statistiqueinférentielle:feuille deroute 78Distributionuniforme 79Distributionnormale(gaussienne) 8 1Propriétésdelaloinormale .87 Sommededeuxv.a. indépe ndantes 88 [Théorèmelimitecentral] 8 9Théoried'échantil lonnage-unéchantillon90Distributiondelamoyenne .91 Distributiondelamoyenne;σXinconnue 9 2StatistiqueAppliquée2ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeDistributiondeStudent 93Distributiondelavariance .94 Distributionduχ2 9 5Distributiondelaproportion 96Théoried'échantil lonnage-deuxéchantillons97Distributiondeladifférencedesmoyennes 98Distributiondurapportdesvariances 99DistributiondeFisher 100 Estimation-intervallesdeconfianc e101Définitions 1 02Estimationdelamoyenne(1/3) .1 03Estimationdelamoyenne(2/3):ta illede l'éch antillon .10 4Estimationdelamoyenne(3/3) .1 05Estimationdelavariance(unécha ntillo n) .10 6Proportion=moyenne 107 Estimationdelaproportion 108 Estimationdurapportdesvarianc es(deu xéchantillons) 109 Testsd'hypothè se110Définitions 111 Typesetprobabil itésd' erreur .11 2Tests:laprocédureà suivre 113 Testsurunemo yenne(1/3 ) 1 14Testsurunemo yenne(2/3 ) .1 15Testsurunem oyenne(3/ 3):taille del'échantillon 1 16Testsuruneva riance(1/ 2) .1 17Testsuruneva riance(2/ 2) .1 18Testsurunepr oportion 1 19 Récapitulatif:unéchantillon120Statistiquesd'unéchantillon:moyenne 121 Statistiquesd'unéchantillon:proport ion,variance .12 2Estimation/tests:unéchantillo n .12 3Intervallesettestsavecdeuxécha ntillon s124Distributiondeladifférencedesmoyennes(1 /6)-rapp el#98 1 25Distributiondeladifférencedesmoyennes(2 /6) 1 26Distributiondeladifférencedesmoyennes(3 /6) 1 27Distributiondeladifférencedesmoyennes(4 /6) 1 28Distributiondeladifférencedesmoyennes(5 /6) 1 29Distributiondeladifférencedesmoyennes(6 /6) 1 30Distributiondeladifférencedesproportio ns 1 31Distributiondurapportdesvariances(1 /2)-r appel#99 1 32Distributiondurapportdesvariances(2 /2) 133 Récapitulatif:deuxéchantillons134Statistiquesdedeux(grands)échantillo ns:moy enne 135 Statistiquesdedeux(petits)échantillo ns:moy enne 136 Statistiquesdedeuxéchantillons:prop ortion ,variance .13 7Estimation/tests:deuxéchantill on s .13 8StatistiqueAppliquée3ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeTests:audélàduseu ildesi gnification139Seuildescripti f(p-value) 1 40Seuildescripti f(p-value):exemple(1/3) .14 1Seuildescripti f(p-value):exemple(2/3) .14 2Seuildescriptif (p-value):exemple(3/3) .14 3Testduχ2144Définition-cadregénéral .14 5Testd'adéqua tion(oud'ajustement) 1 46Testd'indépe ndance/tableaudecontingence .14 7Testd'indép endance:correctiondeYates 1 48Testd'homog énéité 1 49Testdepropo rtions 1 52Testdepropo rtions sansestimationdeparamètres 1 54Testd'adéqu ationàlaloinormale(Shapiro-Wilk) .15 5StatistiqueAppliquée4ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeCedocu mentcontientunegrandepa rtiedestransparentsducours .Celasig nifiequ'iln'estenau cuncascomplet(auto-suffisant);unegrandequa ntitéd'i nformation(comment aires,explications,diag rammes,dé-monstrationsetc.)estdonnéependantle sséances,orale mentouàl' aidedutableau,enp lusdenombreuxtransparents"extra»quinesontpasincl usi ci.Lelogo dulogicielRà droite d'untitrecontientunlien ver sle scriptutilisépour produirelesr ésultatsprésentésdansletransparent.

L'exécution, l'étud eetlacompréhensiondesscriptsfontpar tieintégranteducours.DocumentpréparéavecLATEXet lepac kagepowerdot.StatistiqueAppliquée5ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeIntroduction2Lecour senbrefScilabStatistiquedescriptiveStatistiqueinférentielleVariablesaléatoiresProbabilités3Planducours?Rappelssurlesprobabi lités-différentesdéfinitions-probabilitéconditionelle-indépendance?Variablesaléatoires(discrèt esetcontinues)-fonction/densitédeprobabilité-espérance,variance,moments-indépendanceentrev.a.?Statistiquedescriptive-moyenne,écart-type,quart iles, -histogrammes,boîtesàmoustaches?Statistiqueinférentielle-estimation-intervallesdeconfiance-testsd'hypothèse 4StatistiqueAppliquée6ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeBibliographie?Probabilités,VariablesAléatoires:-P.Boga ert,"Probabilitéspoursci entifiquesetingénieurs",DeBoeck,Bruxelles, 2006-D.Bert sekas,J.Tsitsiklis,"Introducti ontoPr obability",AthenaScientific,Be lmont,2002?Statistique:-T.H.Wonnac ott,R.J.Wonnacott,"Introducto ryStatistic s",5thed.,Wiley,1990-R.E.Walpole, R.H.Mayers,"Probabilitya ndStatistics forEngineersandScient ists",PrenticeHallInternat ional,1993.?R(li vresdisponiblesenl igne):-E.Para dis,"Rpourlesdébutants", 2005-W.N.Ve nable s,D.M.SmithandtheRDevelopment Cor eTeam ,"Anintroduction toR",2006 -W.J.Ow en,"Th eRGuide",20065Évaluation?30%(6/20) :contrôlefinal(semai ne6 /2009)?30%(6/20 ):contrôleinterméd iai re(semaine49)?20%(4/20) :Devoir1(15/11-→18/11)?20%(4/20 ):Devoir2(17/01-→20/01)-énoncésenligne(www.i3s.unice.fr/˜deneire)-travailindividuel-→rédactionindividuelle-citerlessources /document s/personnes(brièvementàlapremièrepage)-plagiat-→-20%=-4/20(0aill eurs)6StatistiqueAppliquée7ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeIntroductionauxprobabilités7Lesprobabi lités:Pourquoifaire??az-zahrmotarabeq uisignifiedé?hasardjeudedésa umoyen âge?principed'incertitudeHeisenberg:σx.σp≥h2?ΔE.Δt≥h2?incertitudesdanslestransistors8Definitions?Expériencealéatoire:pl usieursrésultatspossibles?Issueouéventualitéω:un desrés ultatspo ssibles?UniversΩ:l' ensembledetouslesrésult ats?ÉvénementA:un sous-en sembledeΩ?Exemple:-"Co mpterlenombredeperson nespré sentes»-ω1=1(aumoin s ),ω2=70 ,et c.-Ω={1,2, ,Nmax}-A={ilyamo ins de5 personnes}={1,2,3,4}?Ω9StatistiqueAppliquée8ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeExemple:lancerdeuxdé sΩAB?ω1=( 1,1),ω2=(3 ,4),ω3=(4 ,3), .?Ω={(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1), ,(6,6)}?A={lasomm eestégaleà6}?B={le1erestentre3 et5;le2ndentre2et4}10EnsemblesintersectionS∩TunionS?TSc∩TSc,T?SdisjointspartitionΩΩΩΩΩΩSSSSSSTTTTTTUUV?Disjoints:?iSi=∅(mutuellementexclusifs)?Partition:Sidisjointset?iSi=Ω?DeMo rgan1:(?iSi)c=?iSci?DeMo rgan2:(?iSi)c=?iSci11StatistiqueAppliquée9ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeModèleprobabilis te1.Défin irl'ensembleΩ.2.Att ribuerunnombreP(A)?[0,1]àun événem entA.?Définitionclassique(Laplace) P(A)=nombredecaséquipr obable sfavorabl esnombredecaséquipro bables possible s?Définitionintuitive(fréquen cerelative)P(A)= lim n→∞Nn(A)n?Définitionaxiomatique(Kolmo gorov)1.P(A)≥0pourchaqueé vénementA?Ω2.P(A?B)=P(A)+P(B)pourAetBdisjoints3.P(Ω)=1 12Propriétés1.P(Ac)=1 -P(A)dém.:P(Ω)=P(A?Ac)A∩Ac=∅=P(A)+P(Ac)=12.P(∅)=0 =P(Ωc)3.SiA?B,P(A)≤P(B)4.P(A?B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.P(A?B)≤P(A)+P(B)6.P(A?B?C)=P(A)+P(Ac∩B)+P(Ac∩Bc∩C)?Interprétationgraphique:P(A)≤P(B)P(A?B)A∩BAc∩BΩΩAABB13StatistiqueAppliquée10ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeProbabilitéconditionnelleAttribuerunnombreP(A|B)?[0,1]àun événem entA,sachantquel'événementB(P(B)?=0) aét éréalisé .?Exemple:lancerdeuxdés ΩAB?Touteslesissuesωi(i=1, ,36)sontéquiprob ables?P(A)=?P(B)=?P(A|B)==/36/36?P(A|B)=P(A∩B)P(B)14Unnouv elUnivers?Laprob abilitéconditionnellesatisfaitle stroisaxiomes:1.P(A|B)=P(A∩B)P(B)≥0pourchaqueé vénementA?Ω2.P(A1?A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)pourA1etA2disjoints3.P(Ω|B)=1(universΩ)?Lespropri étésgénéralesrestentvalables, p.ex.,P(A?C|B)≤P(A|B)+P(C|B)?Onpeut remplacer3.p ar3'.P(B|B)=P(B∩B)P(B)=1(universB)?P(A|B):loideprob abilité;univers:Ω→B!?Approcheséquentielle:-P(A∩B)=P(B)P(A|B)-P(?ni=1Ai)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A.

2) P?An|?n-1i=1Ai?15StatistiqueAppliquée11ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeExemple:faussealarme ?Systèmeradar-Avion:Présent/ Abs ent-Radar:Détection /No ndétection-Quatreissuespossib les,Ω={(P,D),(A,D),(P,N),(A,N)}-S={unavio nestprésent}={(P,D),(P,N)}-T={lerada rsignalelaprés enced'unavion}={(P,D),(A,D)}-P(S)=0.05(présenced'unavion)-P(T|S)=0.99(détectionsiavionprésent)-P(T|Sc)=0 .10(faussedétection:"dé tection»siavionabsent)?Quelleestlaprobabi litéd'une fauss ealarme?P(Sc∩T)== 0.095?Quelleestlaprobab ilitéqu'u navion nesoitpasdétecté?P(S∩Tc)== 0.000516Théorèmedeprobabilitétotal eΩBA1A4A2A3?A1,A2, ,An:un epartitio ndeΩ?B=(B∩A1)?(B∩A2)? ?(B∩An)?B∩A1,B∩A2, ,B∩An:év énementsdisjoints?P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+ +P(B∩An)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ +P(An)P(B|An)?P(B)=n?i=1P(Ai)P(B|Ai)Diviserpourrégner!17StatistiqueAppliquée12ÉcolePolytechni quedel'UNSAPolytech'Nice-SophiaDépartementd'Électronique3eannéeThéorèmedeBayes?"Ca use»A-→"effet»B,P(B|A),P(B)?=0?Àpa rtirdeP(B|A),ca lculerP(A|B)(effet-→cause)?P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)?PlusieurscausesAi(i=1, ,n),pa rtitiondeΩP(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)?ni=1P(Ai)P(B|Ai)18Inférencebayésienne1.P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)?P(Ai):ap