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Exercice 1: problème de maximisation de l'utilité

Comment calculer l'utilité maximale ?
Le niveau de l'utilité dépend donc de la quantité consommée (Q) et peut être formalisé à l'aide d'une fonction d'utilité : U = f (Q) = f (x₁, x₂).
Cette fonction indique ainsi le niveau d'utilité d'un consommateur donné lorsqu'il acquiert les quantités x₁ et x₂ des biens 1 et 2.
Comment on calcule le TMS ?
Le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, noté TMS_1k(x), est : TMS_1k(x) = ∂U(x)/∂x1∂U(x)/∂xk(x).
C'est le rapport des utilités marginales.
Comment déterminer la fonction de demande Marshallienne ?
Propriétés de la fonction de demande
1Les fonctions de demande marshalliennes dépendent du vecteur de prix et du revenu.
2) Les fonctions de demande marshalliennes sont homogènes de degré zéro en prix et en revenu. x 1*=x 1(p 1,p 2,R) x 2*=x 2(p 1,p 2,R) U*=U(x 1*;x 2*) f :R R.
Homogène de degré k si: f(tx)=t k f(x) t>0.
La fonction d'utilité indirecte est la fonction qui permet de déterminer l'utilité atteinte en fonction d'un revenu et d'un système de prix donnés.
Pour la déterminer, on injecte dans la fonction d'utilité l'expression des demandes marshaliennes en fonction des prix et du revenu.

Comment calculer l'utilité maximale ?