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44 Mesures et probabilités de densité

Comment calculer la densité de probabilité ?
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=[a;b] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \\int_a^bf\\left(x\\right) dx= 1.
Montrer que la fonction f, définie sur \\left[ 0;1 \\right] par f\\left(x\\right) = 2x est une densité de probabilité.
Comment calculer la densité de probabilité d'une variable aléatoire ?
La variable aléatoire X admet alors une espérance qui vaut 0 et une variance qui vaut 1 .
Puisque la densité d'une loi normale centrée réduite est une fonction paire, on a pour a>0 P(X≤−a)=P(X≥a).
P ( X ≤ − a ) = P ( X ≥ a ) .
Comment montrer qu'une mesure est une probabilité ?
Une mesure P sur un espace mesurable (E,B) de masse totale P(E)=1, est appelée mesure de probabilité, ou parfois plus simplement probabilité.
L'espace (E,B,P) est alors un espace probabilisé.
Une fonction de densité de probabilité sur un intervalle de réels I = [a ; b] est une fonction f définie sur I, continue et positive sur I telle que : .
Pour tous réels c et d de I, p(c < X < d) = p(X <d) - p(X c).
Pour tout réel c de I, p(X = c) = 0 (car ).

Les lois de probabilité sur B(R), de densité par rapport à la mesure de Lebesgue, données dans la proposition suivante seront souvent utilisées dans le calcul Autres questions

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