^{PDFprof.com Search Engine}

Exercices sur les Groupes

Comment montrer que Z +) est un groupe ?
Autre exemple avec le groupe (Z,+) : si E1 = {2} alors le sous-groupe engendré par E1 est H1 = 2Z.
Si E2 = {8,12} alors H2 = 4Z et plus généralement si E = {a,b} alors H = nZ où n = pgcd(a,b).
Quelle est la structure d'un groupe ?
La structure d'un groupe peut être formelle, instituée.
Elle relève alors d'une légitimité sociale et d'une nécessité organisationnelle, telles qu'elles sont transcrites dans des dispositions législatives, des codes, des règlements.
Comment montrer que le centre d'un groupe est un sous-groupe ?
Le centre Z(G) = {z ∈ G : ∀x ∈ G zx = xz} est bien un sous-groupe de G : — 1G ∈ Z(G), car 1G commute avec tous les éléments de G ; — si z1,z2 ∈ Z(G) alors pour tout x ∈ G (z1z2)x = z1xz2 = x(z1z2) donc z1z2 ∈ Z(G) ; — si z ∈ Z(G) alors pour tout x ∈ G z−1x = (x−1z)−1 = (zx−1)−1 = xz−1 donc z−1 ∈ Z(G).
Soit z ∈ Z(G).
Ordre d'un groupe, ordre d'un élément.
Un groupe G est d'ordre n s'il contient n éléments.
L'ordre d'un élément x ∈ G est le plus petit entier strictement positif m tel que xm = 1 (en notation multiplicative).
Si un tel entier m n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini.

Comment montrer que Z +) est un groupe ?