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Cours Applications linéaires

Comment calculer l’application linéaire ?
D’après le théorème précédent, il existe une et une seule application linéaire φ de R4[X] dans R2[X] pour laquelle pour tout P ∈ R3[X] : φ(P) = P′ et φ X4 = X. Cette application est obtenue à partir de l’application linéaire P 7−→ P′ de R3[X] dans R2[X] et de l’unique application linéaire qui envoie X4 sur X de Vect X4 dans Vect(X).
Comment définir une application linéaire ?
On suppose que E possède une base (ei)i∈I. Pour toute famille (fi)i∈I de vecteurs de F, il existe une et une seule application linéaire u de E dans F pour laquelle pour tout i ∈ I : u(ei) = fi. Pour connaître/définir une application linéaire complètement, il suffit de connaître/définir les valeurs qu’elle prend sur une base de l’espace de départ.
Qu'est-ce que les applications linéaires ?
Les applications linéaires sont des morphismes d’espace vectoriel, c’est-à-dire des applications d’un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel. C’est tout l’objet de ce chapitre 2. Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur et f une application de E dans F.
Qu'est-ce que l'application linéaire ?
Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans ∀x, y ∈ E, ∀λ,μ ∈ K, f (λx + μy) = λf (x) + μf (y). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F). Lorsque E = F, on dit plutôt que f est un endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E).

définition d’une Application linéaire

Soit Kmathbb{K} K un corps, par exemple RR R ou Cmathbb{C} C. Soient EEE et FFF deux espaces vectoriels. f:E→Ff : E to F f:E→Fest une application linéaire si elle vérifie deux conditions : 1. Additivité : ∀x,y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y)forall x,y in E, f(x+y) = f(x) + f(y) ∀x,y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) 2. Homogénéité ∀λ∈K,∀x∈E,f(λx)=λf(x)forall lambda i

Quelques Exemples connus d’application linéaire

L’application identité f:x↦xf : x mapsto x f:x↦xdéfinie sur un corps est une application linéaireL’application conjugaison définie sur les complexes en tant que R−R-R−espace vectoriel par f:z↦zˉf : z mapsto bar z f:z↦zˉest une application linéaireSoit (a1,…,an)(a_1, ldots, a_n) (a1,…,an) un vecteur de réels. L’application f:x=(x1,…,xn)↦∑k=1nakxkf : x = (x_1, ldots ,x_n) mapsto sum_{k=1}^n a_kx_k f:x=(x1,…,xn)↦∑k=1nakxk est une ap

Exercices Corrigés

Exercice 1 Enoncé: Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ? 1. f:{R2→R2(x,y)↦(x+y,x−y)f : left{ begin{array}{lll} R^2& to& R^2 (x,y)& mapsto & (x+y,x-y) end{array} right.f:{R2(x,y)→↦R2(x+y,x−y) 2. f:{R2→R(x,y)↦xyf : left{ begin{array}{lll} R^2& to& R (x,y)& mapsto & xy end{array} right. f:{R2→R(x,y)↦xy 3. f:{R3→R3(x,y,z)↦(y,z,0)f : left{ begin{array}{lll} R^3& to& R^3 (x,y,z)& mapsto & (y,z,0) end{array} right. f:{R3→R3(x,y,z)↦(y,z,0)

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Espaces vectoriels

Applications linéaires. Cours prépa HEC math sup math spé

Exercice 1 (Applications linéaires) [00929]