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Feuille 5 : Applications linéaires

Comment faire une application linéaire ?
Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un ~u → A~u avec un certain choix de A. Pour retrouver la matrice, il suﬃt de tester sur la base canonique, puis appliquer linéairement. On utilise E pour désigner la base canonique (~e1,··· ,~e n): de Rn. Voici 4 écritures d’un vecteur w~ dans Rn: w~ =     x1 x2
Qu'est-ce que l'application lineaire ?
Une application lineaire est caracterisee par l'image d'une base : Si (ei)i2I est une base de E et (fi)i2I sont des vecteurs de F, alors il existe une unique application lineaire f : E ! F telle que f(ei) = fi pour tout i 2 I. 1.6. Rappel. Soit f : E ! F une application (quelconque).
Comment savoir si une application lineaire est inversible ?
Une application lineaire f : E ! F est inversible s'il existe une application lineaire g : F ! E telle que g f = IdE et f g = IdF . 4.2. Proposition. Une application lineaire est inversible f : E ! F si et seulement si elle est bijective, et il ne peut alors y avoir qu'une g veri ant les egalites de la de nition.
Comment calculer la composition de deux applications linéaires du plan ?
La composition de deux applications linéaires du plan est à nouveau une application linéaire du plan avec : f A(f A′(u))=(AA′)u. Exemples. 1. Par calcul : RθRα=Rθ+α. Interprétation : Deux rotations successives de même centre peuvent être remplacées par une rotation de la somme des deux angles. 2.

Comment faire une application linéaire ?