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Chapitre 1 Propriétés topologiques des nombres réels

Comment calculer les nombres réels ?
De là en divisant par 2, < (a + b)/2 < b. Ce premier résultat inciterait à croire qu’il n’y a pas detrous entre deux nombres rationnels distincts. Ce n’est cependant pas le cas et c’est ce qui va motiver la construction des nombres réels.
Comment exprimer les nombres rationnels ?
Il est pratique d’exprimer les nombres et plus particulièrement les rationnels sous une forme compacte. On le fait en introduisant une base. La plus commune est la base 10. Par l’intermédiaire de ladivision on a par exemple = 2.5 = 2.5 0000 . . . . . . 3 102 103 + . . .
Quelle est la conséquence de la propriété archimédienne de R ?
Il est intuitif que l’ensemble des nombres entiers Z n’est pas borné supérieurement . C’est une conséquence de lapropriété archimédienne de R en faisant x = 1 dans le théorème suivant. ∀y ∈ R et ∀x ∈ R tel que x > 0, ∃n ∈ N tel que nx > y. DÉMONSTRATION. Si y ≤ 0, il suffit de prendre n = 1.
Comment savoir si un nombre est rationnel ?
on a montré que le polynômex2 − 2 = 0 n’a pas de racine rationnelle. Ce résultat simple se généralise et est utile pour décider si un nombre es t rationnel ou non. DÉMONSTRATION. 3 est un nombre irrationnel. On cherche d’abord le polynôme dont il est une racine. ⇒ x4 − 10x2 + 1 = 0. qui est faux puisque √2 > 1. et p doivent tous deux diviser 1.

Comment calculer les nombres réels ?