Comment comprendre la géométrie analytique ?
La géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral.
Pour cela, on dispose souvent d'un repère où chaque point a des coordonnées qui spécifie son emplacement par rapport à un origine.Quel est l'importance de la géométrie analytique ?
La géométrie analytique fait l'étude des points et des droites situés dans un plan cartésien et des transformations géométriques qu'il est possible d'y produire.
Elle permet aussi d'étudier des équations produites lorsqu'un plan coupe une surface conique.Qui a créé la géométrie analytique ?
La création de la géométrie analytique est l'œuvre de Descartes, et à un titre moindre de Fermat.
Les idées de Descartes sont celles de repère et de projection orthogonale.
Cette théorie permet de concevoir l'espace géométrique comme une collection de points représentés chacun par trois nombres.- La géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne).
Depuis la fin du XVIII e siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne).
B
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Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 S1 - UE TMBAnnee 2009-2010Responsable : Alessandra FrabettiAutomne 2010 http ://math.univ-lyon1.fr/frabetti/TMB/GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN ET DE L'ESPACE1 Geometrie analytique du plan1.Coordonnees cartesiennes des points et des vecteurs du plan :Repere cartesienouorthonormal direct (o.n.d.): (O;~;~) =-~6~qO, avec~?~etk~k=k~k= 1.L'ensemblef~;~gforme unebasede l'espace vectoriel des vecteurs du plan appliques enO, donc tout vecteur~v=!OPest combinaison lineaire de~et~.Coordonnees cartesiennes :P= (x;y)2R2()~v=!OP=x~+y~xy,ou8<:x=k!OP0ky=k!OP00k= longueur des projections orthogonales de~vdans les directions~et~:xy*~vqOqPqP0qP00Plan + repere cartesienR2, car tout pointPvecteur!OP= deux coordonneesxety.Attention:Vecteur ane :!PQ=P+!OQ!OP=P+~u,ou~u= (xQxP)~+ (yQyP)~qO1qPqQHHHY!PQHHHY~u2.Calcul vectoriel en coordonnees cartesiennes :si~v=xy,~v0=x0y0ett2R, alorsaddition:~v+~v0=x+x0y+y0, ex.12+34=46produit par scalaire:t~v=txty, ex. 312=36produit scalaire:~v~v0=xx0+yy0, ex.2312=2 + 6 = 4longueur:k~vk=px2+y2, ex.12=p1 + 22=p5vecteurs orthogonaux:~v?~v0,xx0+yy0= 0, ex.12?21vecteurs paralleles:~vk~v0,x0=txy0=tyt6= 0,xx0=yy0, ex.12k36projection orthogonale: Pr~v(~v0) =x0x+y0yx2+y2~v, ex.
Pr~51=511012+ 02~= 5~=50.13.Droite (ane): =nP= (x;y)jax+by+c= 0oavec (a;b)6= (0;0).Sib6= 0 alorsy=abxcb=m x+poum= tan-6pAKSia6= 0 alorsx=bayca.Attention: une droite est un espace vectoriel de dimension 1 si et seulement si elle passe parO, i.e.c= 0.Vecteur directeurde =ba.Vecteur orthogonalounormala =ab.Droite passante parA= (a1;a2)et?~u=u1u2:!AP~u= 0 =n(x;y)ju1(xa1) +u2(ya2) = 0o()u1x+u2y(u1a1+u2a2) = 0.AAK~uqAqPDroite passante parA= (a1;a2)etk~v=v1v2:!APk~v =nP= (x;y)j!OP=!OA+t~v; t2Ro()x=a1+tv1y=a2+tv2eq. parametriquede parametret2R()xa1v1=ya2v2eq. cartesienne*~vqAqPDroite passante parA= (a1;a2)etB= (b1;b2) :!APk!AB =n(x;y)jxa1b1a1=ya2b2a2oqAqBqPPPPPPPPPPP4.Distance: dist(P;P0) =k!PP0k=k!OP0!OPk=p(xx0)2+ (yy0)2.SiP0est la projection orthogonale dePsur la droite , alorsdist(P;) = dist(P;P0) =jax+by+cjpa2+b2.qPqP05.Aire du parallelogrammede sommetsA,B,C,D=j!AB!AD?j.Si!AB=xyet!AD=x0y0, alors!AD?=y0x0et Aire =jxy0yx0j.PPPPPPPPqAqBqCqD6.Conique= intersection d'un c^one de l'espace avec un plan :C=n(x;y)jax2+bxy+cy2+dx+ey+f= 0oou (a;b;c)6= (0;0;0).Exemples :Cercle: (xa)2+ (yb)2=r2, centre (a;b), rayonr.Ellipse:x2a2+y2b2= 1, centre (0;0), axes~et~.Hyperbole:x2a2y2b2= 1, centre (0;0), axes~et~, droites asymptotesy=bax,ou bien :y=ax, centre (0;0), droites asymptotes~et~, axes = bisectrices des quadrants.Parabole:y=ax2+bx+c, axe~ou bien :x=ay2+by+c, axe~.22 Geometrie analytique de l'espace1.Coordonnees cartesiennes des points et des vecteurs de l'espace :Repere cartesienouorthonormal direct (o.n.d.)de l'espace : (O;~;~~k) =PPPq~1~6~k>qO,avec~?~?~k?~etk~k=k~k=k~kk= 1.L'ensemblef~;~;~kgforme unebasede l'espace vectoriel des vecteurs de l'espaceappliques enO, donc tout vecteur~v=!OPest combinaison lineaire de~,~et~k.Coordonnees cartesiennes :P= (x;y;z)2R3()~v=!OP=x~+y~+z~k0@xyz1A,ou8>><>>:x=k!OP0ky=k!OP00kz=k!OP000k=longueur des projections orthogonales de~vdans les directions~,~et~k:qO-6qP~vqP0xqP00yqP000zEspace + repere cartesien =R3, car tout pointPvecteur!OP= trois coordonneesx,yetz.Attention:Vecteur ane :!PQ=P+!OQ!OP=P+ (xQxP)~+ (yQyP)~+ (zQzP)~k.2.Calcul vectoriel en coordonnees cartesiennes :Si~v=0@xyz1A,~v0=0@x0y0z01A,~v00=0@x00y00z001Aett2R, alorsaddition:~v+~v0=0@x+x0y+y0z+z01A, ex.0@1231A0@3211A=0@2021Aproduit par scalaire:t~v=0@txtytz1A, ex.0@1231A=0@1231Aproduit scalaire:~v~v0=xx0+yy0+zz0, ex.0@2341A0@1211A=2 + 6 + 4 = 8longueur:k~vk=px2+y2+z2produit vectoriel:~v^~v0=0@yz0zy0xz0+zx0xy0yx01A, ex.0@2341A^0@1211A=0@38244 + 31A=0@5671Aproduit mixte: [~v;~v0;~v000] =x(y0z00z0y00)y(x0z00z0x00) +z(x0y00y0x00),ex.240@1231A;0@1211A;0@1231A35= (23)2(31) + 3(22) =1 + 8 = 7vecteurs orthogonaux:~v?~v0,xx0+yy0+zz0= 0, ex.0@1231A?0@2101Aou0@1211Avecteurs paralleles:~vk~v0,~v0=t~v8t6= 0,8<:x0=txy0=tyz0=tz,xx0=yy0=zz0,alternative :~vk~v0,~v^~v0= 0,8<:xy0=yx0yz0=zy0xz0=zx0,xx0=yy0=zz0, ex.0@1231Ak0@3691Aprojection orthogonale:Pr~v(~v0) =x0x+y0y+z0zx2+y2+z2~v, ex.
Pr5~0@1231A=10 + 25 + 3002+ 52+ 025~= 2~=0@0201A.33.Plan (ane):=nP= (x;y;z)jax+by+cz+d= 0oavec (a;b;c)6= (0;0;0).qO-6PPPPPPPPAttention: un plan est un espace vectoriel de dimension 2 ssi il passe parO, i.e.d= 0.Vecteur orthogonalounormala=0@abc1A.Plan passant parA= (a1;a2;a3)et?~u=0@u1u2u31A:!AP~u= 0=n(x;y;z)ju1(xa1) +u2(ya2) +u3(za3) = 0o.Plan passant parA= (a1;a2;a3)etka~v=0@v1v2v31Aet~v0=0@v01v02v031A: [!AP;~v;~v0] = 0=nP=(x;y;z)j!AP=t~v+t0~v0; t;t02Ro()8<:xa1=tv1+t0v01ya2=tv2+t0v02za3=tv3+t0v03eq. parametriquede parametrest;t02R()(xa1)(v2v03v3v02)(ya2)(v1v03v3v01) + (za3)(v1v02v2v01) = 0eq. cartesiennePlan passant parA= (a1;a2;a3),B= (b1;b2;b3)etC= (c1;c2;c3) : [!AP;!AB;!AC] = 0= comme ci-dessus.4.Droite (ane): =\0=nP= (x;y;z)jax+by+cz+d= 0a0x+b0y+c0z+d0= 0oavec (0;0;0)6= (a;b;c),(a0;b0;c0)6= (0;0;0).qO-6QQQQQQAttention: une droite est un espace vectoriel de dimension 1 ssi elle passe parO, i.e.d= 0 etd0= 0.Droite passante parA= (a1;a2;a3)etka~v=0@v1v2v31A:!APk~v =nP= (x;y;z)j!AP=t~v; t2Ro()8<:xa1=tv1ya2=tv2za3=tv3eq. parametriquede parametret2R()xa1v1=ya2v2=za3v3eq. cartesienneDroite passante parA= (a1;a2;a3)etB= (b1;b2;b3) :!APk!AB, comme ci-dessus.5.Distance: dist(P;P0) =k!PP0k=p(xx0)2+ (yy0)2+ (zz0)2.SiP0est la projection orthogonale dePsur le plan, alorsdist(P;) = dist(P;P0) =jax+by+cz+djpa2+b2+c2.PPPPPPPPPPPPqPqP06.Volume du parallelepipedede sommetsA,B,C,D, etc =h!AB;!AC;!ADi.PPPPPPPPPPPPPPPPqAqCqBqDSi!AB=0@xyz1A,!AC=0@x0y0z01Aet!AD=0@x00y00z001A, alors Volume =jx(y0z00z0y00)y(x0z00z0x00)+z(x0y00y0x00)j.7.Quadrique :Q=n(x;y;z)jP(x;y;z) = 0o, ouP(x;y;z) est un polyn^ome de degre 2.Exemples :Sphere:x2+y2+z2=r2Ellipsode:x2a2+y2b2+y2c2= 1Hyperbolode a une nappe:x2+y2z2= 1Parabolode:z=xyHyperbolode a deux nappes:x2y2z2= 1Cylindre:x2+y2=r2C^one:x2+y2=z24