Quels sont les espaces de fonctions continues ?
Espaces de fonctions continues Dans ce chapitre, nous nous attacherons `a montrer des propri´et´es topologiques d’espacesde fonctions continues d’un espace m´etrique (X, d) dans R. On notera est finie quelque soitf 2Cb(X). On montre ais´ement qu’il s’agit d’une norme sur ce qui fait de (Cb(X),k· k1) un espace vectoriel norm´e.
Quels sont les espaces métriques compacts ?
(E,d) ( E, d) et (F,d) ( F, d) désignent des espaces métriques compacts. Théorème : Soit f: K→ F f: K → F une fonction continue où K K est une partie compacte de E E. Alors f (K) f ( K) est un compact de F F. En particulier, si f: K→ R f: K → R avec K K compact, alors f f est bornée et atteint ses bornes.
Comment calculer un espace métrique compact ?
Théorème : Si (E1,d1),...,(Ep,dp) ( E 1, d 1),..., ( E p, d p) sont des espaces métriques compacts et E=E1×⋯×Ep E = E 1 × ⋯ × E p est l'espace métrique produit, alors E E est un espace métrique compact. (E,d) ( E, d) et (F,d) ( F, d) désignent des espaces métriques compacts.
Comment savoir si une partie est compacte ?
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte. Proposition : Toute partie compacte de E E est fermée et bornée. Proposition : Si A A est une partie compacte de E E et si B ⊂ A B ⊂ A est fermé, alors B B est compact.
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