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Cours 4 : espaces de fonctions

Comment calculer l'espace produit d'une fonction ?
Cel`a est n ́ecessaire par exemple pour ́etudier des fonctions f de plusieurs variables f ≡ f(x, y) o`u x est dans un espace m ́etrique et y dans un autre. Proposition 2. Soient (E, dE) et (F, dF ) deux espaces m ́etriques. Alors on peut munir l ́espace produit E × F d ́une m ́etrique en posant
Comment savoir si une fonction ́est complexe ?
D ́efinition 17. Un ensemble de fonctions r ́eelles ou complexes sur un ensemble D est une alg`ebre sur K = R ou C si et A seulement si c ́est un espace vectoriel sur K et si ∀f, la fonction fg : x
Comment calculer la distance d'une fonction ?
On munit E E de la distance introduite `a la proposition 2 et R+ de la distance habituelle, valeur absolue × de la diff ́erence. Montrer que la distance d : E × E → R+ est une fonction uniform ́ement continue. Exercice 9. Soit E = R muni de la distance d(x, y) = |x montrer que la fonction d ́efinie par f(x) = x2 n ́est pas uniform ́ement continue.
Comment savoir si une famille de fonctions est ́equicontinue ?
Si on a tout une famille de fonctions on peut demander en plus de contrˆoler les variations de ces fonctions autour d’un point donn ́e ind ́ependamment de la fonction consid ́er ́ee. On dit alors que la famille de fonctions est ́equicontinue. D ́efinition 18. Soit E et F deux espaces m ́etriques et F ⊂ C0(E; F), une famille de fonctions.

Comment calculer l'espace produit d'une fonction ?