Comment calculer la distance d’un espace métrique ?
D(x, y) = d(x, y) si x, y, p sont alignés, d(x, p) + d(p, y) sinon. 1) Prouver que la relation précédente définit une distance D sur R2. 2) Pour x R2, ρ > 0 et δ une distance parmi d et D, nous noterons Bδ(x, ρ) la boule ouverte de centre x et de rayon ∈ ρ de l’espace métrique (R2, δ). Soit r > 0. a. Déterminer puis dessiner BD(p, r). b.
Comment calculer la distance à un fermé ?
Exercice 5 - Distance à un fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit F F une partie fermée d'un espace métrique X X. On suppose que d(x,F) =0 d ( x, F) = 0. Démontrer que x∈F x ∈ F. Soit A A et B B deux parties d'un espace métrique. On suppose que A A est ouverte et que A∩B =∅ A ∩ B = ∅. Démontrer que A∩¯¯¯¯B =∅ A ∩ B ¯ = ∅.
Quels sont les sous-espaces métriques ?
Dans les exercices 19 et 24, il est question de sous-espaces métriques. Rappelons de quoi il s’agit : si (X, d) est un espace métrique et Y une partie de X, alors la restriction de d à définit de façon évidente une distance Y ×Y sur Y ; on dit alors que le couple Y, d|Y ×Y est un sous-espace métrique de X.
Comment calculer un ouvert dense ?
Soit U 1,…,U n U 1, …, U n un nombre fini d'ouverts denses d'un espace métrique (E,d) ( E, d). Démontrer que ⋂n i=1U i ⋂ i = 1 n U i est un ouvert dense. Soient A,B A, B deux parties d'un espace métrique (E,d) ( E, d). On suppose A⊂B A ⊂ B. Démontrer que ˚A⊂ ˚B A ˚ ⊂ B ˚ et que ¯A ⊂ ¯B A ¯ ⊂ B ¯ .
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