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GROUPES ET REPRÉSENTATIONS

Quels sont les différents types de groupe?
Un groupe peut avoir un nombre d’´el´ements, ouordre, ﬁni ou inﬁni. Dans le second cas, le groupe peut ˆetre discret ou continu. Exemples Un exemple de groupe ﬁni commutatif est fourni par le groupe cyclique Zpd’ordre p, groupe multiplicatif des racines p-i`emes de l’unit´e.
Comment définir un sous-groupe?
Un sous-groupe Hd’un groupe Gest un sous-ensemble de Gayant lui-mˆeme la structure de groupe. Pour qu’un sous-ensemble Hde Gsoit un sous-groupe, il faut et il suﬃt que pour toute paire d’´el´ements aet bde H, a.b−1appartienne aussi a H (le v´eriﬁer!).
Comment calculer la composition d’un groupe?
2+O(t 3) avec iH 3= [iH 1,iH 2] . (3.18) Le fait que la propri´et´e d’antihermiticit´e et de trace nulle soit conserv´ee par le commutateur reﬂ`ete donc au niveau inﬁnit´esimal la propri´et´e de composition du groupe. Elle dote les g´en´erateurs inﬁnit´esimaux iHde la structure d’alg`ebre de Lie.
Qu'est-ce que la topologie du groupe?
Il s’agit la` d’une question li´ee a` la topologie du groupe (existence de 2-cocycles non triviaux) que nous n’´etudierons pas plus avant. Pour r´esumer, la d´eﬁnition a une phase pr`es des ´etats de la M´ecanique Quantique implique qu’un groupe de transformations est r´ealis´e par une repr´esentation projective.

Quels sont les différents types de groupe?