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ALGÈBREAntoine Chambert-LoirAntoine Chambert-LoirUniversité Paris-Diderot.E-mail :Antoine.Chambert-Loir@math.univ-paris-diderot.frVersion du 4 décembre 2016, 17h57La version la plus récente de ce texte devrait être accessible en ligne, à l"adressehttp://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2015-16/algebre/algebre.pdf©2015, Antoine Chambert-LoirTABLE DES MATIÈRES1.

Structures algébriques - aperçu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.

Ensembles, relations, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.

Magmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.

Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 31.4.

Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 51.5.

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.

Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.

Dé?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.

Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.

Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.

Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 02.5.

Produit d"une famille de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 22.6. Opérations d"un groupe dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 42.7. Sous-groupes distingués et groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 92.8. Groupes et monoïdes libres, coproduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9.

Groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 12.10.

Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.11.?éorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 32.12.

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 73.

Anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.1.

Dé?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.

Sous-anneaux, sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.

Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 33.4.

Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 43.5.

Algèbres de monoïdes, de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6ivTABLE DES MATIÈRES3.6.

Idéaux, anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7.

Anneaux de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.8.

Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.9.

Idéaux premiers, idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 73.10.

Le théorème des zéros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.11.

Anneaux euclidiens, principaux, factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 53.12. Caractère factoriel des anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.13.

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.

Corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.1.

Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 374.2.

Extensions de rupture, extensions de décomposition . . . . . . . . . . . 1 424.3.

Clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 454.4.

Corps ?nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 494.5.?éorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 524.6.

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 57Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169CHAPITRE 1STRUCTURES ALGÉBRIQUES - APERÇUCe premier chapitre vise à donner un aperçu rapide des diverses structuresalgébriques que nous allons étudier dans ce cours, et aussi d"autres qui n"yjoueront qu"un rôle d"illustration.

Les chapitres suivant les reprendront avecplus de détail.1.1. Ensembles, relations, applications1.1.1.

Ensembles. -Les présentations formelles des mathématiques couram-ment utilisées reposent sur la notion d"ensemble dont je supposerai une com-préhension intuitive.

Un ensemble possède des éléments, qui peuvent d"ailleurseux-mêmes être des ensembles; on écritx?A pour dire qu"un élémentxappar-tient à l"ensemble A, etx??A pour dire qu"il n"y appartient pas.

La théorie desensembles est guidée par deux principes :a)D euxen semblesq uio ntles m êmesé lémentss ontéga ux( extension);b)SiP(x)estunepropriétéd"unobjet,onpeutformerl"ensemble{x;P(x)}des objets qui la véri?ent (compréhension).Comme l"a observé G.

Russell, les choses ne peuvent pas être aussi simples.?éorème(1.1.2)(Paradoxe de Russell).-Il n"existe pas d"ensemble dont leséléments soient les ensembles véri?ant la propriété x??x.Je renvoie à l"excellentDoxiadis &Papadimitriou(2009) (page 162 et sui-vantes) pour un récit savoureux de la découverte de ce paradoxe.Démonstration. -Raisonnons par l"absurde en supposant qu"un tel ensembleexiste et notons-le R.

La contradiction apparaît lorsqu"on cherche à savoir si Rappartient à R ou pas. 2) CHAPITRE 1.

STRUCTURES ALGÉBRIQUES - APERÇUSi R appartient à R, on a R?R, donc R??R par dé?nition de l"ensemble R;c"est une contradiction.

Donc R n"appartient pas à R, c"est-à-dire que R??R,donc R?R par dé?nition de R; apparaît de nouveau une contradiction.Les constructions axiomatiques de la théorie des ensembles, telle celle deZermelo-Fraenkel (ZFC), requièrent ainsi une grande attention.

Au niveau dececours,etdelaplupartdesthéoriesmathématiques,leparadoxeestéliminéparunerestrictionduprincipedecompréhension:siAestunensembleetP(x)unepropriété d"un objet, on peut former{x?A;P(x)}l"ensemble des élémentsde A qui véri?ent cette propriété.1.1.3.

Relations. -Soit A un ensemble. Une relation dans l"ensemble A estune partie de A.

Si R est cette relation eta?A, on écrit R(a)pour exprimer queaest un élément de R.Soitnun entier naturel; on dé?nit plus généralement la notion de relationn-airedansl"ensembleA:c"estunepartiedel"ensembleAn.SiRestunetellerela-tionetsia1, ,ansontdesélémentsdeArespectivement,onécritR(a1, ,an)pour exprimer que len-uplet(a1, ,an)est un élément de R.Surtout pour les relations binaires (n=2), la pratique mathématique a sug-géré une notation plus concise, "in?xe», consistant à écrirea?bpour écrireque le couple(a,b)est un élément de la relation correspondant au symbole?.L"ensembledescouples(a,b)telsquea?b,c"est-à-direl"ensembledesélémentsde cette relation, est alors appelé legraphede la relation?.Par exemple, la relation d"égalité (symbole=) dans un ensemble A a pourgraphe ladiagonaledu produit A×A, qui est l"ensemble des couples(a,a), poura?A.1.1.4.

Applications. -Les applications forment un exemple important de re-lations, pour lesquelles on introduit une notation plus suggestive.

Soit A et Bdes ensembles.

Une applicationfde A dans B est une relation, disons R, dansl"ensemble A×B véri?ant la propriété suivante : pour touta?A, il existe ununique élémentb?B tel que R(a,b).

On notef?A→B pour dire quefest uneapplication de A dans B; pour touta?A, on notef(a)l"unique élément de Btel que(a,f(a))appartient à R.

On dit que la partie R de A×B est le graphe del"applicationf.1.1. ENSEMBLES, RELATIONS, APPLICATIONS31.1.5.

Relations binaires. -Soit?une relation binaire dans un ensemble A.On dit qu"elle est-ré?exivesia?apour touta?A;-symétriquesia?bentraîneb?apour tousaetbdans A;-transitivesia?betb?centraînenta?cpour tousa,b,c?A.1.1.6.

Relations d"équivalence. -Unerelation d"équivalenceest une relationré?exive, symétrique et transitive.Soit≂une relation d"équivalence dans un ensemble A.

Pour touta?A, onappelleclasse d"équivalencedeal"ensemble Cadesb?A tels quea≂b.Lemme(1.1.7). -Soit≂une relation d"équivalence dans un ensembleAa)Pour tout a?A, on a a?Ca;b)Pour a,b?A, on a soitCa=Cb, soitCa∩Cb=∅;c)L"ensemble des partiesCa, pour a?A, dé?nit une partition deA.Démonstration. -a) C "esté videntc arl ar elation≂est ré?exive.b)Supposons que Ca∩Cbn"est pas vide et soitc?Ca∩Cb; on a donca≂cetb≂c.

Comme la relation≂est symétrique, il vientc≂b.

Alors, pour toutx?Cb, on ab≂x, puis, la relation≂étant transitive,a≂x; cela prouve quex?Ca, d"où Cb?Ca.

Par symétrie, on a aussi Ca?Cb, d"où l"égalité Ca=Cb.c)Soit A′l"ensemble des parties Ca, poura?A.

D"après ce qui précède, deuxéléments distincts de A′sont des parties de A qui sont disjointes.

D"autre part,pour touta?A, l"élementaappartient à Ca, donc les ensembles Cane sont pasvides et la réunion des ensembles appartenant à A′est égale à A.1.1.8. -Soit≂une relation d"équivalence dans un ensemble A.

L"ensemble desclasses d"équivalence est appeléensemble quotientet noté A?≂.

L"applicationc?A→A?≂qui associe à tout élémentade C sa classe Caest une surjection,dite surjection canonique.

Poura,b?A,c(a)=c(b)si et seulement si Ca=Cb,si et seulement sia≂b.Lemme(1.1.9)(Propriété universelle de l"ensemble quotient)SoitAetBdes ensembles et soit≂une relation d"équivalence dansA.

Soitf?A→Buneapplicationtellequef(a)=f(b)pourtoutcouple(a,b)d"élémentsdeAtels quea≂b. Il existe une unique application¯f?A?≂→Btelle quef=¯f○c. 4) CHAPITRE 1.

STRUCTURES ALGÉBRIQUES - APERÇUMalgré son apparence abstraite, cette propriété doit être considérée commeune véritable règle de calcul permettant de dé?nir une application de source unensemble quotient.

Celle-ci est très élémentaire, nous verrons dans ce cours denombreuses autres propriétés universelles, parfois plus subtiles.

C"est un desbuts de ce cours que d"amener le lecteur à en apprécier l"intérêt.Démonstration. -Soit C un élément de A?≂.

Soita,bdes éléments de C; onaa≂b, doncf(a)=f(b); notons¯f(C)cet é