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Espaces complets

Comment montrer qu'un espace est complet ?
∀n ⩾ n1, d(xϕ(n),x) < ε/2.
Alors, ∀n ⩾ max (n0,n1), d(xn,x) ⩽ d(xn,xϕ(n)) + d(xϕ(n),x) < ε, ce qui montre que la suite converge.
Un espace métrique (X,d) est dit complet si toute suite de Cauchy converge.
Qu'est-ce qu'un ensemble complet ?
Un ensemble est complet si toute suite de Cauchy de l'ensemble a une limite dans l'ensemble lui-même.
C'est quoi une partie compacte ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x .
Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.

En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge dans ce même espace. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.

Espaces complets Exemples et applications
Cours 3 : espaces métriques complets
Amphi 3: Espaces complets

Espaces complets

Comment montrer qu'un espace est complet ?

Qu'est-ce qu'un ensemble complet ?

C'est quoi une partie compacte ?