Comment faire un développement en série entière ?
Théorème : Si est une fonction développable en série entière sur un intervalle , alors les coefficients de cette série entière sont les nombres : ∀ n ∈ N , a n = f ( n ) ( 0 ) n .
Le développement en série entière de est donc unique et s'identifie avec la série de Taylor de : x n .Comment justifier qu'une fonction est développable en série entière ?
Pour qu'une fonction f de R dans R soit développable en série entière, il faut que les conditions suivantes soient remplies : il existe un intervalle ouvert I centré en 0 tel que f soit de classe C^{\\infty} sur I, la série entière \\sum\\frac{f^{(n)}(0)}{n}
Comment transformer une fonction en série entière ?
Pour une série entière du type ∑nF(n)zn ∑ n F ( n ) z n où F est une fraction rationnelle, on décompose F en éléments simples (voir cet exercice); S'il y a des multiplies de n ou de 1/(n+1) 1 / ( n + 1 ) par rapport aux séries classiques, penser à intégrer ou à dériver (voir cet exercice).
- Théorème : Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence non nul.
La somme de la série entière, définie dans le disque D ( 0 , R ) de convergence par S ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ a n z n , est continue dans tout le disque de convergence.
Suites et séries dintégrales
Chapitre I : calcul vectoriel
Chapitre 1 : Rappels mathématiques (éléments de calcul vectoriel)
Chapitre I : Rappels mathématiques Calcul vectoriel
Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs
Chapitre I Éléments de calcul vectoriel (Rappels mathématiques) I1
Chapitre-1-calcul-vectorielpdf
Chapitre 8 : Calcul matriciel et systèmes linéaires
Chapitre 8 Matrices
Calcul d"une intégrale par un développement en sérieentièreDorian Cacitti-Holland2020-2021Références.1.
Suites et séries de Mohammed El AmraniLeçons.1. 235 Problèmes d"interversion de limites et d"intégrales2. 236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d"intégrales de fonctionsd"une ou plusieurs variables3. 243 Séries entières, propriétés de la somme, exemples et applicationsThéorème.L"intégraleR+10xch(x)dxest convergente etZ+10xch(x)dx= 2+1Xn=0(1)n(2n+ 1)2Démonstration.Etape 1 : Convergence de l"intégraleSur[0;+1[, la fonctionx7!xch(x)est continue etxch(x)=2xex+exx!+12xex=o1x2avecx7!1x2intégrable, donc, par théorème de comparaison,x7!xch(x)est intégrable sur[0;+1[, ce qui montre que l"intégrale est convergente.Etape 2 : Se ramener une fonction développable en série entière usuelleOn effectue le changement de variablex=ln(u)qui est bien unC1-difféomorphisme de]0;1]dans[0;+1[(décroissant), ainsiZ+10xch(x)dx=Z01ln(u)ch(ln(u))duu=Z012ln(u)eln(u)+eln(u)duuD"oùZ+10xch(x)dx=Z012ln(u)1u+uduu=2Z10ln(u)1 +u2du1On écrit alors le développement en série entière de la fonction11+u2sur]0;1[:Z+10xch(x)dx=2Z10ln(u)+1Xn=0(1)nu2ndu=2Z10ln(u)du+Z10+1Xn=1ln(u)(1)n+1u2nduEtape 3 : Appliquer une interversion série-intégraleOn considère les fonctionsfn, pourn2N, définie parfn(0) = 0;fn(u) = (1)n+1u2nln(u)Ainsifn(u)!u!00, donc lesfnsont des fonctions continues sur[0;1].Soitu2]0;1[, alors la sériePfn(u)est alternée et vérifie les hypothèses du critère des sériesalternées (ou de Leibinz), donc la série numériquePfn(u)est convergente.On peut donc considérer le resteRn(u)de cette série, qui vérifie, toujours d"après le critèredes séries alternées,jRn(u)j=+1Xk=n+1(1)k+1u2kln(u) u2(n+1)ln(u) =u2n+2ln(u)On noteg(u) =u2n+2ln(u), alorsgest dérivable enuetg0(u) =(2n+ 2)u2n+1ln(u)u2n+1=u2n+1((2n+ 2)ln(u) + 1)Doncg0s"annule uniquement enu=e12n+2, il s"agit bien d"un maximum global degencalculant sa dérivée seconde ou en remarquant quelimu!0;1g(u) = 0.Par conséquentjRn(u)j e12n+ 2Ainsi, en passant à la borne supérieure, on obtientkRnk1e12n+2!n!+10, d"oùRnCV U!n!+10,ce qui montre que la série de fonctionsPfnconverge uniformément sur[0;1], on peut doncintégrer terme à terme :Z10 +1Xn=1fn(u)!du=+1Xn=1(1)n+1Z10u2nln(u)duOr, par intégrations par partiesZ10u2nln(u)du= 00Z10u2n+12n+ 11udu=12n+ 1Z10u2ndu=1(2n+ 1)2Par conséquentZ+10xch(x)dx=2Z10ln(u)du+ 2Z10 +1Xn=1fn(u)!du=2Z10ln(u)du+ 2+1Xn=1(1)n+1(2n+ 1)2AinsiZ+10xch(x)dx=2lim"!0[uln(u)u]1"+2+1Xn=1(1)n(2n+ 1)2= 2+2+1Xn=1(1)n(2n+ 1)2= 2+1Xn=0(1)n(2n+ 1)22