INTRODUCTION AUX METHODES ECONOMETRIQUES
ECO 4272 : Introduction `a l'´Econométrie Introduction au cours
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Base de données Chapitre 1 Introduction

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Université Paris 1 Panthéon-SorbonneUFR 02Introduction à l"économétrieDocuments de travaux dirigésMagistère ETE 1èreannéeAnnée universitaire 2014-2015Antoine TerracolTD N°1Exercice 1On observe les vecteursy=?01?etx=?12?.

On veut contruire un modèle linéaire incluantun terme constant oùyreprésente la variable dépendante etxla variable explicative1.Écr irele mo dèlesous forme matricielle.

Que lleest la ta illede l"éc hantillon?2.C alculezles paramètres du mo dèleen minimisan tle somme des carrés des résidus. 3.La form uledes moindres carrés est donnée par ˆβ= (X?X)-1X?y.

Appliquez cetteformule pour retrouver les résultats de la question précédente.4.Donnez le v ecteurrésiduel da nsles deux cas.

Exercice 2Calculez, pour chacun des cas suivants, l"estimateur des moindres carrés et précisez àchaque fois la taille des matrices du modèle linéaire avec constante.1.y=(((-112)))etx=(((122)))2.y=(((011))),x1=(((1-12)))etx2=(((1-10)))3.y=(((011))),x1=(((12-1)))etx2=(((10-1)))Exercice 3On observe les données de prix et de consommation suivantes :Table1 - Prix et consommationPrix 0.77 0.74 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81 1.39 1.20 1.17Consommation 2.57 2.50 2.35 2.30 2.25 2.20 2.11 1.94 1.97 2.06 2.02La régression de la consommation sur le prix et une constante donne les résultatssuivants :ˆβ0= 2.691124etˆβ1=-0.479529.

Le nuage de points et la droite de régressionsont représentés sur le graphique suivant1PrixConsommation0.811.21.41.61.81.822.22.42.61.Écr irele mo dèlesous forme matricielle 2.Re présentergraphiquemen tles résidus estimés.

Les calculer p ourles deux dernières observations.3.À quoi est égale la somme des résidus estimés ?P ourquoi?2TD N°2 :Exercice 1Soientaetxdeux vecteurs dansRKetAune matrice symétrique de dimensionK×K.Soit égalementBune matrice de dimensionn×K.1.Démon trerque ∂a?x∂x=aet que∂x?Ax∂x= 2Ax2.Démon trerque B?Best une matrice symétrique, semi-définie positive.

Sous quellesconditions est-ce queB?Best définie positive?3.Soit le mo dèlelinéaire y=Xβ+?oùy?Rn,β?RKet oùXest une matrice de plein rang colonne.Quel est le rang deX? Déterminer la formule des moindres carrés en minimisantla somme des carrés des résidus.Exercice 2Soit le modèle linéairey=Xβ+?oùy?Rn,β?RKet oùXest une matrice de plein rang.On veut déterminer la projection deysur l"espace engendré par les colonnes deX.1.Quand est-ce que deux v ecteursde Rnsont orthogonaux?2.soit 1le vecteur constant (contenant uniquement des 1) dansRn.

Sous quelle condi-tion un vecteurz?Rnest-il orthogonal à1?3.Définir l"espace engendré par les colonnes de X, notéC(X)4.Soit ˆy=Xˆβla projection orthogonale deysurC(X).

Déterminezˆβ.5.Soit PXune matrice telle queˆy=PXy.

Quelle est la dimension dePX? CalculezPX?,PX2,PXX,PX(y-ˆy),(In-PX)?,(In-PX)2,(In-PX)XetPX(In-PX).Quels sont les rangs et la trace dePXetIn-PX?6.si k= 1etX=1, calculezPX,In-PXetˆy.

Détermineze=y-ˆy7.Donnez l"expression de la norme euclidienne ?z?d"un vecteur deRnDans la suite de l"exercice, on supposera que1?X8.Soit ¯yla moyenne empirique des éléments dey.

On considère le vecteur¯y= ¯y1.Démontrer l"égalité suivante en vous servant du théorème de Pythagore :?y-¯y?2=?ˆy-¯y?2+?y-ˆy?29.On définit le co efficientde détermination R2comme étantR2=?ˆy-¯y?2?y-¯y?2Montrez que0≤R2≤13TD N°3 :Exercice 1Soit le modèleyi=a+bxi+?i, i= 1 noù?iest une variable aléatoire telle que?[?i|x] = 0; Var(?i|x) =σ2?iet Cov(?i,?j) =0?i?=jSoientˆaetˆbles estimateurs des MCO deaetb.1.Éc rirele mo dèlesous forme matricielle. 2.Re présentezgraphiquemen tle mo dèle.3.C alculezˆaetˆben utilisant la formule des moindres carrés4.Mon trerque la droite de régression passe par le p oint(x,y).5.Donner l"expression de la somme des carr ésdes résidus 6.Définir le concept de décomp ositionde la v arianceet dériv ezsa for mule.7.Donner l"expression du R2du modèle8.Est-c eque ˆaetˆbsont des cosntantes ou des variables aléatoires? Dans le secondcas, donner l"expression de leurs deux premiers moments.Exercice 2On considère le modèle suivant, dont on suppose les résultats connus :yi=a+bxi+?i, i= 1 n(1)On considère ensuite les modèles suivants :yi=a2+b2zi+?2i, i= 1 naveczi= 3xi(2)wi=a3+b3xi+?3i, i= 1 navecwi= 3yi(3)wi=a4+b4zi+?4i, i= 1 n(4)yi=a5+b5vi+?5i, i= 1 navecvi= 2xi-1(5)yi=a6+b6˜xi+?6i, i= 1 navec˜xi=xi-x(6)1.Dans c hacundes mo dèles(2) à (6), exprimer les v aleurssuiv antesen fonction de celles du modèle (1) : résidus estimés, SCR, variance expliquée, SCE,R2, coefficientsestimés.2.Que p ensezv ousdu mo dèle(7) suiv ant?yi=a7+b7xi+c7vi+?7i, i= 1 n(7)4TD N°4 :Exercice 1On considère le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RKetXest une matrice de plein rang.Soit la décomposition suivante :X=?X1X2?etβ=?β1β2?Soient les projecteurs orthogonauxPXsurC(X)etPXisurC(Xi).

Soient égalementMX=In-PXetMXi=In-PXi1.C alculezPXPXi,PXMXi,MXMXi,PXiXetMXiX2.Soi entˆβ1etˆβ2les estimateurs des MCO deβ1etβ2dans la régression deysurX.

Donnez les relations qui existent entreˆβ1etˆβ2.3.Soie ntˆβ?1l"estimateur MCO deˆβ1dans la régression deysurX1etˆβ?2l"estimateurMCO deˆβ2dans la régression deysurX2.

Donnez une condition nécessaire etsuffisante pour que?ˆβ?1ˆβ?2?=?ˆβ1ˆβ2?4.Démo ntrezque la r égressionde ysurXet la régression deMX1ysurMX1X2donnent le même estimateur pourβ2et le même vecteur résiduele.5.Démo ntrezque la ré gressionde ysurXet la régression deysurMX1X2donnentle même estimateur pourβ2mais des vecteurs résiduels différents.6.Si X=?1W?etβ=?ab?, déterminez l"estimateur des MCO debà l"aide duthéorème de Frisch-Waugh-Lovell.

5) TD N°5 :Exercice 1Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RKetXest une matrice de plein rang.

On suppose?[?|X] =0etVar(?|X) =σ2In.1.C alculer?[y|X]et Var(y|X).2.Démon trerque ˆβest sans biais.3.Soit ele vecteur des résidus estimés.

Calculez?[e|X]et Var(e|X).4.Soit s2=e?e.

Que représentes2? Calculer?[s2|X].5.C alculerV ar?ˆβ?, la matrice de variance-covariance deˆβ.6.Démon trerque ˆβest l"estimateur ayant la matrice de variance-covariance la pluspetite dans la classe des estimateurs linéaires sans biais.Exercice 2Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RketXest une matrice de plein rang.

On suppose?[?|X] =0etVar(?|X) =σ2In.

On suppose également queX?Xnp-→QoùQest inversible.1.Démon trerque X??np-→02.C alculerla limite asymptotique de ˆβ,plimˆβ.

6) TD N°6 :Exercice 1Soityun vecteur deRnsuivant une loi normale multivariée d"espéranceμet de matricede variance-covarianceΣ:y≂ Nn(μ,Σ)1.Que llesson tles dimensions de μet deΣ?2.Soit Aune matrice de dimensionm×nde plein rang, etbun vecteur deRn.

Donnerla loi deAy+b.3.On admet que si les v ariablesaléatoires ?isont i.i.d.N(0,1)pouri= 1 n, alors?ni=1?2i≂χ2(n).Quelle est la loi de de(y-μ)?Σ-1(y-μ)?Pour la suite du TD, on se sert du théorème suivant :Théorème 1(Théorème de Cochran)Soity≂ Nn(μ,σ2In)etL1?L2?···?Lpune décomposition deRnen sous espacesorthogonaux de dimensionr1,r2, ,rptels que?pi=1rp=n.

Les projections orthogonalesP1y,P2y, ,PpydeysurL1,L2, ,Lpsont des vecteurs aléatoires gaussiens indépen-dants, et pour chaquei= 1 ,pon a1σ2?Piy?2i.i.d.≂χ2(ri)4.Soie nty≂ Nn(μ,σ2In)etXune matrice une matricen×(K+ 1)de plein rang.SoitPXla matrice de projection surC(X)et soitMX=In-PX.

Démontrer quePXyetMXysont indépendants, et que?PXy?2et?MXy?2le sont également.5.Que lleest la loi de ?PXy?2et de?MXy?2?6.On admet que si ?≂ N(0,1), ques≂χ2(ν)et que???s, alors??sν≂ T(ν)Soit¯yla moyenne empirique denvariables aléatoiresyii.i.d.≂ N(0,σ2), et soitˆσ2lavariance empirique.

Démontrez que⎷n¯yˆσ≂ T(n-1)7.On admet que si s1≂χ2(ν1),s2≂χ2(ν2)ets1??s2alorss1/ν1s2/ν2≂ F(ν1,ν2)Quelle est la loi de?PXy?2?MXy?2?7Exercice 2Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RK+1etXest une matrice de plein rang.

On suppose?|X≂ N(0,σ2In).On considère que ce modèle est le modèle " vrai » ayant généré les données.1.Que lleest la loi de ˆβ|X?2.Que lleest la loi de (n-K-1)ˆσ2σ2|Xoùˆσ2=e?en-K-1?3.Mon trezque ˆβket(n-K-1)ˆσ2σ2sont des variables aléatoires indépendantes4.En déduire la loi de ˆβk-βkˆσˆβkoùˆσβkest l"écart-type estimé deˆβk5.C onstruireun in tervallede confiance au niv eau1-αpourβk6.C onstruireune pro cédurede test de niv eauαpour le jeu d"hypothèses?H0:βk=bH1:βk?=b8TD N°7 :Exercice 1Parmi les spécifications suivantes; quelles sont celles qui peuvent être estimées à l"aide d"unmodèle linéaire?y=ax+b(1)y=ax2+b(2)y=ax2+bx+c(3)y=a3x+b(4)y=c1 +ae-bx(5)y=x2+ax+b(6)y=aln(x) + 5(7)y=abxcz(8)y=ax-1+b(9)y=aln(x) +b5z+c(10)Exercice 2Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RK+1etXest une matrice de plein rang.

On suppose?[?|X] =0et Var(?|X) =σ2In.

On considère que ce modèle est le modèle " vrai » ayant généré lesdonnées.Soient les décompositionsX=?Z W?etβ=?γδ?à partir desquelles on peutréécrire le modèle " vrai » commey=Zγ+Wδ+?On s"intéresse ensuite au modèle suivant :y=Zγ+ν91.À quelle condition a-t-on ?[ν|Z] =0?2.On supp oseque ZetWsont orthogonaux.

Montrer que l"estimateur des MCO deγdans la régression deysurZest sans biais.3.Si ZetWne sont pas orthogonaux, montrer que l"estimateur des MCO deγdansla régression deysurZest biaisé.Exercice 3Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RKetXest une matrice de plein rang.

On suppose?[?|X] =0etVar(?|X) =σ2In.

On considère que ce modèle est le modèle " vrai » ayant généré lesdonnées.On considère la régression suivante :y=Xβ+Zγ+?avec?[?|X,Z] =01.C alculerles estimateurs de βdans la régression deysurXet dans la régression deysurXetZ, notés respectivementˆβ1etˆβ2.2.ˆβ2est-il biaisé?3.C alculerV ar?ˆβ2|X,Z?.4.Co mparerV ar?ˆβ1|X,Z?et Var?ˆβ2|X,Z?10TD N°8 :Exercice 1Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RK+1etXest une matrice de plein rang.

On suppose?[?|X] =0etVar(?|X) =σ2In.SoitRune matricep×(K+ 1)etqun vecteur de tailleq.

On souhaite imposer lacontrainte suivant à l"estimateur deβ:Rβ=q1.Dét erminerl"estimate urde βen minimisant la somme des carrés des résidus sousla contrainte.2.T rouverune relation qui relie la différence en treles résidus estimés du mo dèlecontraint et du modèle non contraint et la différence des estimateurs dans les deuxmodèles.3.Mett reles con traintessuiv antessous la f ormeRβ=q:(a)β1= 0(b)β1=β2(c)β1=β2=···=βK= 0(d)β1+β2= 1Exercice 2Soit le modèle linéairey=Xβ+?avecy?Rn,β?RK+1etXest une matrice de plein rang.

On suppose?|X≂ N(0,σ2In).SoitRune matrice constante de dimensionsp×K+ 1oùp≤K+ 1; etqun vecteurconstant deRp1.Calcu ler?[y|X]et Var(y|X)2.Détermine rles lois de y|X, deˆβ|Xainsi queSCR|XoùSCRest la somme descarrés des résidus.3.So itˆσˆβkla racine carrée de l"élément(k+ 1,k+ 1)de?Var?ˆβ|X?.

Démontrer que,sous l"hypothèse nulleH0:βk= 0, alorsˆβk/ˆσˆβk≂ T(n-K-1)4.Détermine rla loi de Rˆβ-q5.En utilisan tRˆβ-q, trouvez une forme quadratique qui suit uneχ2sousHc:Rβ=q.

Est-il possible d"utiliser cette statistique pour un test? En utilisant la loi deFisher, trouver un ratio de formes quadratiques qui est estimable.116.Soit SCRcla somme des carrés des résidus du modèle contraint, etSCRnccelle dumodèle non contraint.

Calculer la loi de(SCRc-SCR)/pSCR/(n-K-1)sousHc7.On désire tester H0:βi= 0contreH1:βi?= 0pouri= 1, ,K.

Calculer lastatistique du test ainsi que sa loi. Expliquez la notion de p-value.8.Même squestion p ourle test de H0:Rβ=qcontreH1:Rβ?=q12