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Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Comment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est de classe C1 ?
f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x↦dfx x ↦ d f x est continue.
Plus généralement, on dit que f est de classe Ck sur U lorsque toutes les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre k existent et sont continues sur U.
Comment étudier une fonction à deux variables ?
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel.
Si f est une telle fonction, on note f : R × R → R.
Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre.
On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
Comment déterminer les lignes de niveau ?
La ligne de niveau h de f est l'ensemble des points (x, y) tels que f(x, y) = h.
Pour passer du graphe de f `a la ligne de niveau h, il faut donc se restreindre aux points du graphe qui vérifient z = h, puis oublier la coordonnées z.
L'ensemble des points qui vériient z = h est le plan horizontal d'altitude h.
On dit qu'on peut évaluer f en (x,y,z) et f (x,y,z) est la valeur de f en (x,y,z).
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f .
On note D(f ). f : R×R → R (x,y) → 1 x − y .

Comment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est de classe C1 ?