Qui est le père de la mathématique ?
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée.
C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.Quelles sont les découvertes en mathématiques ?
Les théorèmes et équations mathématiques comme le théorème de Pythagore, la loi de la gravitation de Newton, le mystérieux nombre Pi… Tant de découvertes qui ont traversé l'Histoire pour être encore aujourd'hui utilisées comme références.
Des théories scientifiques considérées comme « la clé de l'Univers ».Comment sont nés les mathématiques ?
Les mathématiques sont apparues dans toutes les civilisations, probablement avant l'apparition de l'écriture.
De la civilisation de Sumer par exemple, on conserve des écrits mathématiques datant de plus de 2000 ans avant Jésus-Christ.
Les mathématiques sont utiles, elles servent à comprendre le monde.- Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal.
Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone.
Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi.
Chapitre 6 Résumé et conclusion
INF5171 Programmation concurrente et parallèle Notes de cours
Modèles et Approches Formels pour les Systèmes Distribués
Systèmes parallèles et distribués Introduction
LES ALGORITHMES DISTRIBUÉS
Conception et Analyse de quelques Algorithmes Distribués
Algorithmique Distribuée
Notes de cours Algorithmique parallèle et distribuée
PhD
Revued'Histoire desMathématiquesSOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCETome16 Fascicule 12010Calculsymboliqueet calculinte´ graldeLagrangea `CauchyJean-PierreLubet REVUED'HIST OIREDESMATHÉMATIQUESRÉDACTIONRédacteurenchef :NorbertSchappacherRédacteurenchef adjoint:PhilippeNabonnandMembresduComitéde rédaction:TomArchibaldAlainBernardFrédéricBrechenmacher Marie-JoséDurand-RichardÉtienneGhysHélèneGispertJensHøyrupAgatheKellerLaurentMazliakKarenParshallJeannePeifferSophieRouxJoëlSakarovitchDominiqueTournès Directeurdelapublication: BernardHelffer COMITÉDELECTUREPhilippeAbgrallJuneBarrow-Greene LilianeBeaulieuUmbertoBottazziniJeanPierreBourguignon AldoBrigagliaBernardBruJean-LucChabertFrançoisCharetteKarineChemlaPierreCrépelFrançoisDeGandt MoritzEppleNataliaErmolaëvaChristianGilainCatherineGoldsteinJeremyGrayTinneHoffKjeldsenJesperLützenAntoniMaletIrènePasseronChristineProustDavidRoweKenSaitoS.R.Sarma ErhardScholzReinhardSiegmund-SchultzeStephenStiglerBernardVitracSecrétariat:NathalieChristiaënSociétéMathématiquede FranceInstitutHenriPoincaré 11,ruePierre etMarieCurie, 75231ParisCedex 05Tél.:(33)014427 6799/ Fax:(33) 014046 9096 Mél:revues@smf.ens.fr/URL: http//smf.emath.fr/Périodicité:Tarifs2010:LaRevuepubliedeux fasciculesparan, de150pages chacunenviron.prixpublicEurope :66e;prixpublic horsEurope: 75e;prixaunuméro :38e.Desconditionsspéciales sontaccordées auxmembresde laSMF.
Diffusion:SMF,MaisondelaSMF ,Case916 -Luminy, 13288MarseilleCedex 9AMS,P.O.Box6248,Providence,RhodeIsland02940 USA©SMFNoISSN:1262-022XMaquette couverture:Armelle StosskopfRevued'histoire desmathématiques16(2010),p. 63-131CALCULSYMBOLIQUEET CALCULINTE´GRALDELAGRANGEA `CAUCHYJean-PierreLubet Résumé. - Dansunmémoire publié en1774,Lagrange utilisedesméthodesreposantsurl'analogie despuissancespositives etdesdifférences, etdespuis- sancesnégatives etdessommes, quiluipermettent, notamment,d'obtenirdiversesformulesd'intégration.
D'autresauteurss'engagent alorsdanscette voie.Lesproblèmes decalcul intégraljouentun rôleimportantdans ledéve-loppementdediverses formesde calculsymboliqueet celui-cifaitla preuvedesonefficacité danscedomaine :ilpermet degénéraliserou deretrouverrapidementdesrésultats anciens,introduitde laclartédans despratiquesd'intégrationnumérique ,unifielesprocéduresd'intégrationdes diverstypesd'équationslinéaires,et conduitàla résolutiondenouvelles équationsauxdérivéespartielles.
Cependant,lesnotations etlesfondements mêmesdesnou- veauxprocédésrestent longtempsl'objet d'interrogations.Dansles années1820,Cauchyapporte uneréponseconforme àsaconception delarigueur :enutilisantla formuleintégralede Fourier,il donneauxsymboles d'opérationunesignificationprécise, etiltrai teparce moyenlesdivers typesd'équationslinéairesàcoefficients constants.Textereçule1erfévrier2005,révisé le4septembre 2009,acceptéle 27novembre2009.J.-P.Lubet,7allée duTardenois, 59650Villeneuved'Ascq, France.Courrierélectronique: jplubet@club-internet.frClassificationmathématiquepar sujets(2000): 01A50,01A55,34-03, 35-03,39-03, 47-03.Motsclefs: Calculsymbolique, calculintégral,équations différentielleslinéaires,analogie,Lagrange,Laplace, Lorgna,Prony, Bürmann,Lacroix,Arbogast, Français,Servois,Herschel,Babbage,Fourier ,Poisson,Cauchy .Keywordsand phrases. - Symbolic calculus,integralcalculus, lineardifferentialequations,analogy ,Lagrange,Laplace,Lorgna,Prony, Bürmann,Lacroix, Arbogast,Français,Servois, Herschel,Babbage,Fourier,Poisson, Cauchy.©SOCIÉTÉMA THÉMATIQUEDEFRANCE,201064J.-P.LUBETAbstract(Symboliccalculusand integralcalculus,from LagrangetoCauchy) Inapaper publishedinthe year1774,Lagrange usedmethodswhich werebasedonthe analogyof positivepowersand differences,andnegativepowersandintegrals, whichenabledhim toobtainvarious formulaeofintegration.
Thenotherauthors enteredintothis way.Problems ofintegralcalculus playedanimportantpart inthede velopmentofvarious methodsofsymbolical calcu-lusandthisoneprovedhisefficiencyinthismatter:itmadeitpossibletogener-alizeorto quicklyre-findformer results,itintrodu cedclarityinto practicesofnumericalintegration,it unifiedproceduresof integrationofdifferent typesoflinear equations,itled tothesolving ofnewpartial differentialequations.Howeverthe notationsandthe foundationsthemselvesof thenewprocesses remainedfora longtime subjectsofinterrogations.
Inthe1820s, Cauchypro-videdananswer inaccordancewith hisconceptionof rigour:byusing Fourier's integralformula,he gavethesymbols ofoperationa precisemeaning,and thushedealtwith thedifferenttypes oflinearequations withconstantcoefficients.
INTRODUCTIONEn1695, a`l'occasion d'e´changesavecJeanBernoulli, Leibnizintroduitlanotationexponentielle dnpourde´ signerlesdiffe´rentiellesd'ordressuc-cessifs,et iltraduitla re´ciprocite ´del'inte ´grationet deladiffe´rentiationparlesnotations d?1=Retd?n=Rn.Leibnizet JeanBernoulliutilisent cenouveaupoint devuepour retrouverlaformule dede´ veloppementense´riedel'inte´graleRydx(diteformulede Bernoulli),queles deuxma-the´maticiensavaientd'aborde´tabliepar d'autresmoyens.La voiesemble alorsouvertevers uncalculsur lessymbolesd'ope ´rations,analogue a` ce-luiquiaffecte habituellementlesquantite ´s.Mais ilfautattendre 1774et lapublicationparLagrange desonme ´moire"Surunenouvelle espe`ce decalculrelatifa `la diffe´rentiationeta` l'inte´gration desquantite´svariables»pourtrouverune utilisationsyste´ matiquedecette analogieentreles puis-sancespositives etlesdiffe ´rences,et lespuissancesne ´gativesetlesinte´-grales.Destravaux surceque l'onappellesouvent lecalculsymbolique (oucalcul desope´ rations)vontalors s'ensuivrea`lafinduxviiieetaude ´-butduxixesie`cle,enliaisonaveclede ´veloppementdu calculdiffe´ rentieletinte´ graletlesrecherchessursesfondements.Denombreusese ´tudesont e´te´consacre´esa` l'histoireducalcul symbo-liquedanscette pe´riode ;onpeut citer,notamment,L.Novy[1968],E.Koppelman[1971],L.A.Lusternik etS.Petrova [1972],S.Petrova [1993],CALCULSYMBOLIQUEET CALCULINTÉGRALDE LAGRANGEÀCAUCHY 65M.Panza[ 1992],J.-P.
Friedelmeyer[1994],M.- J.Durand-Richard[1985;1998],P.AllaireetR.Bradley[2002].L'attention deshistorienss'estpar-ticulie`rementconcentre´esurdeuxaspects decettehistoire:sesrapportsaveclesrecherchessurlesfondementsducalculdiffe´rentiel;sonroˆledanslede´ veloppementd'unealge`breabstraiteauxixesie`cle.Meˆmes'ila e´te´aborde´parcertainsauteurs(notamment KoppelmanetPetrova), unas-pectsemblecependant me´ riterd'eˆ trede´veloppe´davantage:lesinterac- tionsentrecalcul inte´gral etcalculsymbolique.
Silecalculinte´gralvaap-paraıˆtrea`partirdumilieuduxixesie`clecommel'undesdomainesprivile´-gie´sd'applicationdel'alge`bresymbolique, ilaaussi e´te ´,de`slexviiiesie`clel'undesmoteurs dude´ veloppementdecette alge`bre.
Nousnouspropo-sonsdoncde traitercethe `mede manie`re syste´matique surl'ensembledelape´ riodeallantdeLagrangea`Cauchy,en prenantencompte ladiversite ´dessavantsimplique ´s,dont plusieursrestentencorepeuconnus.1.LAGRANGEET LA"NOUVELLEESPE `CEDECALCUL »Onsaitque dansson me´moire Surunenouvelle espe`ce decalcul relatifa`ladiffe ´rentiationeta`l'inte´grationdesquantite´svariables,publie´ en1774,La-grangeconside` reque,pourtoutefonctionu,onpeut e´crire lede´ veloppe-mentense ´rieentie `resuivant(1.1)u(x+?)=u+u0?+u00?22+u000?32?3+u(4)?42?3?4+???;ou`?estunaccroissement quelconquedela variablexetou` lessymbolesu0;u00;u000;:::de´signentdesfonctionsdexseulement.Cesfonctions de´- riventlesunes desautres commeu0de´rivedeu:c'est-a` -direqueu00estaussilecoefficient de?dansle de´veloppement deu0(x+?),u000estlecoef- ficientde?dansle de´veloppement deu00(x+?),etc.Le calculdiffe´ rentielestalorsde´finicommelepassagedelafonctionua`sesde´rive ´essuccessives,lecalculinte ´grale ´tanta`l'inverselepassagedesde ´rive´esauxfonctionspri-mitives.Lagrange affirmequesa conceptiondescalculs diffe´rentiel etin-te´gralestainsi"inde´pendantedetouteme´taphysiqueet detoutethe ´o-riedesquantite ´s infinimentpetitesoue´vanouissantes»[Lagrange1774,p.443].En recouranta `desvaleurs de?infinimentpetites,les fonctionsu0;u00;u000;:::peuvents'interpre´ tercommedesquotientsdiffe´rentiels, et66J.-P.LUBETlaformule(1.1) s'e´crit (1.2)u(x+?)=u+dudx?+d2udx2?22+d3udx3?32?3+???Cependant,danssa plusgrandepartie, leme´ moireestconsacre ´a `l'utili-sationdel'analogie entrelespuissances positivesetles diffe´rences, etles puissancesne´ gativesetlesinte´grales1.De` slede´but,Lagrangee´voque a`ce sujetles e´crits deLeibniz,notammentunme´moire2de1710ou `celui-cicomparaitlede ´veloppementdu binoˆmeetlaformuledediffe ´rentiationd'unproduit.Par exemplea `l'ordretrois, ilmettaiten paralle`lelesidenti-te´ssuivantes,ou`apparaissentles meˆmes coefficientsnume´riquesp3(x+y)=1p3x+3p2xp1y+3p1xp2y+1p3y;d3(xy)=1d3x+3d2xdy+3dxd2y+1d3y;lesymbolepesignifiantque l'onprendla puissancee-ie`medel'expressionquisuit.Danscetteligne ´e, Lagrange,rapprochantlescoefficientsnume´riquesdanslaformule deTaylor (1.2)etceux quel'onobtient ende´veloppantense´ rielafonctionexponentielle,adoptelanotationformelle(1.3)?u=u(x+?)?u(x)=edudx??1;enposantla re`gle suivante:"apre`sl'avoirde´veloppe´ e[laformule] suivantlespuissancesdedu,onap- pliqueles exposantsdeces puissancesa` lacaracte´ ristiquedpourindiquerdes diffe´rencesdumeˆmeordrequelespuissances,c'est-a`-direqu'onchangedu?end?u»[Lagrange1774,p. 450].Poursimplifierl'expose ´,nous donnonslesformulesdanslecasd'unevariableunique, maislescalculs deLagrangeportent leplussouvent surlede´veloppementdefonctionsu(x;y;z;t;:::)deplusieursvariables, carsesme´thodessymboliquesluiparaissentparticulie` rementefficaces"pourde´ couvrirdiffe´rentsthe´ore`mes ge´ne´rauxconcernantlesdiffe ´rentia-tionsetles inte´ grationsdesfonctions deplusieursvariables,the´ore`mesdont la1Pouruneanalyse détailléede cetaspectdu mémoire,voirM.
Panza[1992,chap.III.4].2) Pourunetraduction françaiseetun commentairedece mémoire,voir [Parmen-tier1989,p. 409-421].CALCULSYMBOLIQUEET CALCULINTÉGRALDE LAGRANGEÀCAUCHY 67plupartsontnouveaux, etauxquelsil seraitd'ailleurstre `sdifficile deparvenir pard'autresvoies »[Lagrange1774,p.442].
Dela formule(1.3),que l'onvanoter ici(T1),Lagrangede ´duit plu-sieursautresidentite ´sen jouantsurl'analogieenquestion:nousenpre´sentonsl'essentieldansletableauci-dessous.La re´ciprocite ´des fonc-tionslogarithmeet exponentiellepermetd 'obtenir(E1).L'utilisation de(E1)et( T1)conduita `laformule d'interpolationdeGregory-Newton(G1),laquelleconcerne lepassage desdiffe´ rences?x=?,auxdiffe ´rences ?0x=?0.(T??)??u=?edudx??1???þþþþþ?(T?)??u=?edudx??1??þþþþþ???(T1)?u=?edudx??1?þþþþ?????(E1)dudx?=log(1+ ?u)j?????(G1)?0u=?(1+?u)?0??1½þþþþ???(E?)d?udx???=[log(1+ ?u)]?j???(G?)?0?u=?(1+?u)?0??1½?þþþþþ???(E??)R?udx???=[log(1+ ?u)]??j?(G??)?0?u=?(1+?u)?0??1½??þþþþþ?Lesignej?indiqueque lessecondsmembres doiventsubirles transformationsprescritesparLagrange :de´ veloppementense ´rie,puis changementdesexposantsdepuissanceen indicesdediffe ´rentiation.Danschacunedes troisfamillesd'identite ´s - (T),(E),(G) - ,mises ene´ videnceparLagrange,l'e´tapeult