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TD no 4 : Intégrales de Riemann

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?
est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle.
L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.
Comment calculer la somme de Riemann ?
La somme de Riemann de f associée à σ et aux ξi est définie par S(f,σ,ξ)=n∑i=1(xi−xi−1)f(ξi).
Comment calculer les intégrales impropres ?
On obtient alors : I ( x ) = ∫ 0 arctan ⁡ ( x ) u d u = [ u 2 2 ] 0 arctan ⁡ ( x ) = 1 2 ( arctan ⁡ .
Quand tend vers , on a donc : lim x → + ∞ I ( x ) = π 2 8 .
D'où : ∫ 0 + ∞ arctan ⁡ ( t ) 1 + t 2 d t = π 2 8 .
somme de Darboux inférieure associée à et le nombre s [ a , b ] ( f , σ ) = ∑ i = 1 n m i ( x i − x i − 1 ) .

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?