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Anneaux Feuille TD 2 – Correction

Comment montrer un anneau commutatif ?
On dit qu'un anneau (A,+,×) est commutatif lorsque la loi × satisfait de plus a×b = b×a, pour tous a, b ∈ A.
Proposition 2.3.
Dans un anneau (A,+,×), les trois propriétés suivantes sont satisfaites. (1) a × 0A = 0A = 0A × a, pour tout a ∈ A.
Comment montrer qu'un anneau est intégré ?
Si un anneau est un corps commutatif, alors il est intègre.
La réciproque est, en général, fausse (l'anneau des entiers relatifs est un contre-exemple) mais est vraie dans le cas des anneaux finis (voir infra).
L'ensemble des nombres décimaux est un anneau intègre qui n'est pas un corps.
Est-ce que 18 est inversible dans Z 49Z si oui quel est son inversé ?
18 et 49 sont premiers entre eux, et donc ¯¯¯¯¯¯18 18 ¯ est inversible dans Z/49Z Z / 49 Z .
Pour trouver son inverse, il faut résoudre l'équation de Bezout 18u+49v=1 18 u + 49 v = 1 .
Avec l'algorithme d'Euclide ou un logiciel, on trouve que 7×49−19×18=1 7 × 49 − 19 × 18 = 1 .
Une partie I de A est un idéal si (I,+) est un groupe et si, pour tout a∈A a ∈ A et tout u∈I u ∈ I , alors au∈I a u ∈ I (propriété d'absorbtion).

Comment montrer un anneau commutatif ?