École Nationale Supérieure de Géologie- Cours de première année -Outils Mathématiques pourl"Ingénieur- Séries et transformées deFourier et deLaplace -BenoîtMarx, Maître de Conférences HDR à l'Université de Lorraine2Table des matières1Analyse de Fourier11.
1) Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. 1) Préliminaires au développement en séries de Fourier . . . . . . . . . 11.1. 2) Développement en série d"exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. 3) Conditions de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. 4) Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1. 5) Développement en série de cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . 81.1. 6) Développements pour une fonction de période quelconque . . . . . . 111. 2) Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. 3) Transformée de Fourier d"une fonction périodique . . . . . . . . . . 181.2. 4) Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.
5) Transformée de Fourier d"un signal discret . . . . . . . . . . . . . . 202Transformée de Laplace232.
1) Définition de la transformée et de la et transformée inverse . . . . . . . . . 232. 2) Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. 1) Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. 2) Translation dans l"espace de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. 3) Dilatation ou contraction dans l"espace de départ . . . . . . . . . . 252.2. 4) Transformée de Laplace d"une fonction modulée . . . . . . . . . . . 252.2. 5) Transformée de Laplace de la dérivée d"une fonction . . . . . . . . . 252.2. 6) Transformée de Laplace de la primitive d"une fonction . . . . . . . . 252.2. 7) Dérivation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. 8) Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.
9) Théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.10 Transformée de Laplace d"un produit de convolution . . . . . . . . . 272.
3) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. 1) Transformée de Laplace de l"impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . 272.3. 2) Transformée de Laplace de l"échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . 282.3. 3) Transformée de Laplace de la fonctionsinus. . . . . . . . . . . . . 282.3. 4) Transformée de Laplace de la fonctioncosinus. . . . . . . . . . . . 292.3. 5) Transformée de Laplace de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 292.3.
6) Résolution d"une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . 293Sujets de travaux dirigés31TD1.
Séries et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TD2.
Transformée de Laplace et résolution d"équations différentielles . . . . . . 373Annexes 41ATransformée de Fourier rapide41BDécomposition en éléments simples43CTable de transformées de Laplace444Chapitre 1Analyse de FourierLes séries de Fourier1et la transformée de Fourier sont très utilisées en physiquedans différents buts.
La transformée de Fourier permet de résoudre certaines équationsdifférentielles dont la résolution serait notablement plus lourde sans l"utilisation de cetoutil.
La transformée de Fourier d"une fonction, ou dans un contexte plus concret : d"unsignal mesuré permet de mettre en évidence un spectre, c"est à dire de caractériser lecontenu fréquentiel du signal.
Autrement dit on cherche à mettre en évidence un ouplusieurs comportements périodiques (qui se reproduit à l"identique au cours du temps)et à donner la ou les périodes caractéristiques du signal.Dans une première partie de ce chapitre on verra que toute fonction périodique (souscertaines conditions qui seront précisées) peut s"écrire sous la forme d"une somme pondéréede fonctions exponentielles complexes, ou sous la forme d"une somme pondérée desinuset decosinus.Dans une seconde partie, on définira la transformée de Fourier, on étudiera ses pro-priétés et quelques applications.1.
1) Séries de Fourier1.1.
1) Préliminaires au développement en séries de FourierLe développement en série de Fourier est utilisé pour représenter une certaine classede fonctions : les fonctions périodiques.
Dans un premier temps il est donc utile de définircette classe.1.
Jean-Baptiste (ou Joseph) Fourier (1768-1830) participe à la révolution en tant qu"animateur ducomité local révolutionnaire d"Auxerre.
La chute de Robespierre en 1793 lui évite la guillotine. Il étudieà l"École Normale Supérieure, et a pour professeur Lagrange, Laplace et Monge. En 1797, il remplaceLagrange à la chaire d"analyse et de mécanique de l"Ecole Polytechnique. En 1798, il rejoint les expéditionsnapoléoniennes en Égypte. En 1801, il revient en France et est nommé préfet de l"Isère.
Il étudie leproblème de la chaleur, c"est-à-dire l"évolution de la température d"un corps au cours du temps.
De1802 à 1807, il étudie l"équation de la propagation de la chaleur dans les corps solides, et trouve uneméthode pour la résoudre : l"analyse de Fourier.
Fourier décompose une fonction mathématique unique,mais difficile à décrire mathématiquement, en une somme infinie de fonctions en sinus et en cosinus.
Ilest alors plus facile de décrire au cours du temps l"évolution de chacune de ces fonctions, et de retrouverla température au tempsten refaisant la somme.
Cette hypothèse audacieuse est contestée par sescontemporains (Laplace, Poisson et Lagrange).
Malgré ces réserves, Fourier est primé par l"Institut pourson mémoire en 1812.12CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIERDéfinition 1.1.Une fonctionf(t), oùt2R, est dite périodique, si elle vérifie :8t; f(t+T) =f(t)(1.1)La périodeTdef(t)est le plus petit réel non nul vérifiant (1.1).À l"évidence, tout multiple deTsatisfait également cette propriété :f(t+nT) =f(t),pourn2Z.Une fonction périodique de périodeTest diteT-périodique.
Les fonctions périodiquesles plus utilisées sont les fonctions trigonométriquescosinus,sinus, ettangentequi sonttoutes trois2-périodiques :cos(t+ 4) = cos(t+ 2) = cos(t)(1.2)sin(t+ 4) = sin(t+ 2) = sin(t)(1.3)Dans un premier temps, on étudiera le développement en série de Fourier des fonctions2-périodiques.
Les résultats qui seront établis se généraliseront facilement aux fonctionsT-périodiques car, par un changement de variable, l"étude d"une fonctionT-périodiquese ramène à l"étude d"une fonction2-périodique.
En effet soitf(t)une fonctionT-périodique.
Si on pose le changement de variable :u=2Tt(1.4)et si on définit la fonction~f(u)par :~f(u) =fT2u=f(t)(1.5)Alors la fonction~f(u)est2-périodique, en effet on a :~f(u+ 2) =fT2(u+ 2)=fTu2+T=f(t+T) =f(t) =~f(u)(1.6)1.1.1.
1) Produit hermitique et normeLa décomposition en série de Fourier d"une fonction peut être vue comme l"expressionde la fonction dans une base particulière.
On peut songer à l"analogie avec un pointde l"espace courant (à trois dimensions) repéré par ses trois coordonnées.
Ce repérage estpossible de manière unique si on se donne une base ayant la propriété d"être orthonormale,c"est à dire une base dont chaque vecteur est de norme unitaire et orthogonal à tous lesautres.
Dans le cas courant des vecteurs de l"espace à trois dimensions, on peut choisir lanorme euclidienne, et l"orthogonalité est caractérisée par un produit scalaire nul.Dans un espace fonctionnel, on a besoin de se donner une norme.
Cette norme seradéfinie par un produit hermitique, qui est l"extension au cas complexe du produit scalaire.Définition 1.2(forme hermitique).Soient deux fonctionsfetgà valeurs dansC, l"opé-rateur noté< f;g >2Cest une forme hermitique à droite si elle vérifie les propriétéssuivantes :< f1+f2;g >=< f1;g >+< f2;g >(1.7)< f;g >= < f;g >(1.8)< f;g1+g2>=< f;g1>+< f;g2>(1.9)< f;g >= < f;g >(1.10)1.1.
SÉRIES DE FOURIER3Définition 1.3(forme hermitique symétrique).Une forme hermitique est symétrique sielle vérifie la propriété suivante :< f;g >=< g;f >(1.11)Si<;>est une forme hermitique symétrique, alors< f;f >est réel (car il est égalà son conjugué).Définition 1.4(forme hermitique symétrique définie positive).Une forme hermitiquesymétrique est définie positive si elle vérifie (en plus de (1.11)) la propriété suivante :< f;f > >0;8f6= 02C(1.12)Une forme hermitique définie positive permet de construire une norme à partir duproduit hermitique.
Cette norme, notéejjfjj, est définie par :jjfjj=p< f;f >(1.13)Cette norme vérifie les propriétés essentielles d"une norme à savoir :jjfjj>0;8f6= 0(1.14)jjfjj=jjjjfjj;82C(1.15)jjf+gjj jjfjj+jjgjj(1.16)Les deux premières propriétés sont évidentes à démontrer de par la définition d"uneforme définie positive, et par la linéarité d"une forme hermitique.
Pour démontrer la troi-sième il est commode de commencer par établir la propriété connue sous le nom d"inégalitéde Schwarz.Proposition 1.1(inégalité de Schwarz).Pourfetgdeux fonctions à valeurs dansC,et une normejj jjdéfinie par un produit hermitique<;>, on a :j< f;g >j jjfjj jjgjj(1.17)Démonstration.Il suffit de développer le produit< f+g;f+g >, où2C.
Le produithermitique étant défini positif, cette quantité est positive ou nulle.< f+g;f+g >=< f;f >+ < g;f >+ < f;g >+jj2< g;g >(1.18)Or le complexe< g;f >peut s"écrire :< g;f >=j< g;f >jei.
Dans ce cas il vient< f;g >=j< g;f >jei. En posant :=pei.
On a alors :< f+g;f+g >=< f;f >+2pj< g;f >j+p2< g;g >0(1.19)Il s"agit d"un polynôme du second degré enp.
On sait que la quantité est positive, doncle polynôme admet au plus une racine.
Autrement dit, le discriminant est négatif ou nul :(2j< g;f >j)24jjfjj2jjgjj20(1.20)L"inégalité de Schwarz est donc démontrée.
4) CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIERUne fois ce résultat établi, on montre les équivalences :(1:16),< f+g;f+g >< f;f >+< g;g >+2jjfjjjjgjj(1.21), << f;g > jjfjjjjgjj(1.22)D"une part, le fait que pour tout complexe la partie réelle est inférieure ou égale au module,et d"autre part l"inégalité de Schwarz permettent d"écrire :<< f;g > j< f;g >j jjfjjjjgjj(1.23)La dernière inégalité implique que (1.22) est vérifiée.
Par équivalence, l"inégalité triangu-laire est donc prouvée.On peut vérifier que, pouraetbréels, (1.24) définit bien un produit hermitique, etque (1.25) définit une norme :< f;g >=Zbaf(t)g(t)dt(1.24)< f;f >=jjfjj2=Zbaf(t)f(t)dt(1.25)Les inégalités triangulaire et de Schwarz s"écrivent alors respectivement :sZbajf(t) +g(t)j2dtsZbajf(t)j2dt+sZbajg(t)j2dt(1.26)Zbaf(t)g(t)dtsZbajf(t)j2dtsZbajg(t)j2dt(1.27)1.1.1.
2) Base fonctionnelleDans ce paragraphe, on montre qu"une famille de fonctions est orthonormée et peutdonc servir à construire une base dans laquelle il sera possible de représenter d"autresfonctions.Définissons la famille de fonctions2-périodiques,un(t), avect2Retn2Zpar :un(t) =eintp2(1.28)Montrons que cette famille est orthonormée pour la norme définie par :< f(t);g(t)>=Z20f(t)g(t)dt(1.29)jjf(t)jj=sZ20f(t)f(t)dt(1.30)Pour cela il convient de distinguer deux cas, suivant quemetnsont égaux ou distincts.1.1.
SÉRIES DE FOURIER5Sim=n, alors on a :< un;un>=Z20un(t)un(t)dt(1.31)=12Z20ei(nn)tdt(1.32)= 1(1.33)On a montré que chaque fonctionunest normée.Pourm6=n, on a :< un;um>=Z20un(t)um(t)dt(1.34)=12Z20ei(nm)tdt(1.35)=12ei(nm)ti(nm)20(1.36)= 0(1.37)On a montré que les fonctionsunsont orthogonales deux à deux.On a donc bien établi que les fonctionsun(t) =eintp2forment une base orthonormée pourle produit (1.29) et la norme (1.30).
Par la suite on utilisera cette base pour exhiber undéveloppement particulier des fonctions périodiques.1.1.
2) Développement en série d"exponentiellesLa famille de fonctionsun(t)étant orthonormée, on peut écrire une fonction2-périodiquef(t)sous la forme d"une combinaison linéaire des différentes fonctions debaseun(t).
Autrement dit, le développement en série d"exponentielles d"une fonction2-périodiquef(t)peut s"écrire sous la forme :~f(t) =+1Xn=1cnun(t)(1.38)où les coefficientscndonnent la projection def(t)sur lanemecomposante de la base.Donc, pour calculer les coefficientscn, appeléscoefficients de Fourier généralisésdef(t), on étudie< f(t);un(t)>:< f(t);un(t)>=<+1Xk=1ckuk(t);un(t)>(1.39)=+1Xk=1ck< uk(t);un(t)>(1.40)=cn(1.41)On a donc le développement de Fourier généralisé def(t)défini par :~f(t) =+1Xn=1cneintp2;aveccn=1p2Z20f(t)eintdt(1.42)6CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIERRemarque1.1.Le coefficient de Fourier généraliséc0donne la moyenne de la fonctionf(t)sur l"intervalle[0 2]à une constante multiplicative près, en effet on a :Moy(f) =12Z20f(t)dt=1p21p2Z20f(t)ei0tdt=1p2c0(1.43)Exemple1.1.Montrer que la fonction2-périodiquef(t)définie par :f(t) =(1;pourt2]0[1;pourt2]2[(1.44)peut s"écrire sous la forme :~f(t) =+1Xn=12i(2n+ 1)ei(2n+1)t(1.45)Les coefficients sont définis par :c0=1p2Z20f(t)dt= 0(1.46)etcn=1p2Z20f(t)eintdt(1.47)=1p2Z0eintdt+Z2eintdt(1.48)=1p2 eintin0+eintin2!(1.49)=1inp2ein11 +ein(1.50)Il faut donc distinguer deux cas, suivant la parité den:cn=(0;sinpair4inp2;sinimpair(1.51)On a donc le développement de Fourier :~f(t) =+1Xn=12i(2n+ 1)ei(2n+1)t(1.52)1.1.
3) Conditions de convergence de DirichletDans le paragraphe précédent, on a proposé un développement d"une fonction ensomme infinie, sans se préoccuper de savoir si la somme proposée convergeait.
Le ma-thématicien Dirichlet2a démontré, en 1829, que les fonctions périodiques continues, ou2.
Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) fait ses études à Paris, où il côtoie Legendre, Poisson,Laplace et Fourier.
Il s"intéresse alors aux séries trigonométriques et à la physique mathématique.
En1825 il retourne enseigner en Allemagne où il aura pour élève Kronecker et Riemann. À la mort de Gauss,il prend sa succession à Göttingen, jusqu"à sa mort en 1859.1.1.
SÉRIES DE FOURIER7f(t)t2????? ?2??f( -)?f( +)?Figure1.1 - Exemple de fonction continue par morceauxcontinues par morceaux pouvaient être développées en série de Fourier et que sous cer-taines conditions (logiquement appelées conditions de Dirichlet) la série converge vers lafonction.Une fonction continue par morceaux sur un intervalle[a b]est une fonction qui a unnombre fini de discontinuités et qui est continue sur chaque intervalle compris entre deuxdiscontinuités.
Si on notetiaveci= 1;:::;nles points de discontinuité vérifiantti< ti+1,la fonction est continue sur]a t1[,]t1t2[,]t2t3[, ,]tn1tn[,]tnb[.
Pour chaque point dediscontinuitéti, la fonction a une limite à gauche (par valeurs inférieures) notéef(ti), etune limite à droite (par valeurs supérieures), notéef(t+i).Par exemple la fonction2-périodique définie parf(t) =tsur] [est continuepar morceaux sur[33], comme le montre la figure 1.1.
Les limites def(t)ent=sont :f() =etf(+) =.Le résultat établi par Dirichlet donne des conditions suffisantes à la convergence de lasérie de Fourier vers la fonction.
Il est admis sans démonstration.Théorème 1.1(théorème de Dirichlet).Soitf(t)une fonction2-périodique, telle quef(t)et sa dérivéef0(t)soient continues par morceaux sur l"intervalle[0 2].
La série deFourier (1.42) converge vers :f(t), sif(t)est continue ent;f(t)+f(t+)2, sitest un point de discontinuité def(t).1.1.
4) Théorème de ParsevalLe théorème de Parseval relie l"énergie d"un signal (définie par l"intégrale de son carré)à la somme des carrés des coefficients de la série de Fourier.
En effet, du point de vuemathématique, l"énergie du signal correspond à la norme de la fonction.
Or les fonctionsun(t) =eint=p2formant une base orthonormée de l"espace des fonctions le carré de lanorme de la fonction est égal à la somme des carrés des projections de la fonction sur lesvecteurs de base.
En effet :< f(t);f(t)>=Z20f(t)f(t)dt=Z20 +1Xn=1cnun(t)! +1Xm=1cmum(t)!dt(1.53)=+1Xn=1+1Xm=1cncmZ20un(t)um(t)dt|{z}=1 sin=m;=0 sinon=+1Xn=1jcnj2(1.54)On a établi le résultat connu sous le nom de théorème de Parseval.
8) CHAPITRE 1.ANALYSE DE FOURIERThéorème 1.2(théorème de Parseval).Soit une fonction2-périodiquef(t)telle quef(t)etf0(t)soient continues par morceaux.
Les coefficients de Fourier généralisés,cn,vérifient :Z20jf(t)j2dt=+1Xn=1jcnj2(1.55)Ce résultat faisant le lien entre une somme infinie et une intégrale sur un supportcompact est parfois utilisé pour calculer des sommes de séries, comme l"exemple suivantl"illustre.Exemple1.2.Utiliser le développement en série de Fourier de la fonctionf(t):f(t) =(1;pourt2]0[0;pourt2]2[(1.56)pour démontrer queP+1n=11n2=261.1.
5) Développement en série de cosinus et sinusDans ce paragraphe, on étudie le cas oùf(t)est une fonction à valeurs dansR.
Cecas correspond à la majorité des signaux physiques qu"on peut mesurer et être amené àanalyser d"un point de vue spectral (généralement l"écriture complexe est une modélisa-tion particulière, tentant par exemple de rendre compte d"un caractère oscillatoire d"unphénomène).Considérons une fonction2-périodiquef(t)réelle, et écrivons son développement ensérie de Fourier :~f(t) =Xn2Zcneintp2=c0p2+Xn1cneint+cneintp2(1.57)Les coefficientscnsont donnés par :cn=Z20f(t)eintp2dt(1.58)Les coefficientscnetcnsont liés par la relation suivante :cn=Z20f(t)eintp2dt=Z20f(t)eintp2dt=cn(1.59)Pourn1, posons :c0=p22a0(1.60)cn=p22(anibn)(1.61)cn=p22(an+ibn)(1.62)1.1.
SÉRIES DE FOURIER9avec(an;bn)2R2.
Le développement en série de Fourier devient alors :~f(t) =a02+Xn1(an+ibn)eint+ (anibn)eint2(1.63)=a02+Xn1(ancos(nt) +bnsin(nt))(1.64)On a donc obtenu un développement def(t)réelle en série decosinuset desinus.
Lescoefficientsanetbnsont donnés, pourn1, par :a0=2p2c0an=cn+cnp2bn=icncnp2(1.65)En reportant les expressions dec0, etcndans ces écritures on obtient :a0=2p2Z20f(t)p2dt(1.66)=1Z20f(t)dt(1.67)an=1p2Z20f(t)eint+eintp2(1.68)=1Z20f(t)cos(nt)dt(1.69)bn=ip2Z20f(t)einteintp2(1.70)=1Z20f(t)sin(nt)dt(1.71)Pour récapituler, on peut, sous les conditions données par le théorème de Dirichlet, déve-lopper une fonction2-périodique par une série decosinuset desinussous la forme :~f(t) =a02+Xn1(ancos(nt) +bnsin(nt))(1.72)où les coefficientsanetbnsont définis par :a0=1Z20f(t)dt an=1Z20f(t)cos(nt)dt bn=1Z20f(t)sin(nt)dt(1.73)Pour des fonctions réelles, cette écriture est plus usitée que celle en série d"exponentielles.En effet, l"intégrale ne faisant intervenir que des fonctions réelles est souvent plus simpleà calculer, surtout numériquement.10CHAPI
