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Topologie des espaces métriques 2011/12

Qu'est-ce qu'une métrique en maths ?
Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.
Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance.
Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de x à y est la même que la distance de y à x.
Comment montrer qu'un espace est un espace métrique ?
Un espace métrique est un ensemble E sur lequel on a défini une distance, c'est `a dire une application d : ExE → IR+ qui vérifie, pour tous x, y et z ∈ E d(x, y) = d(y, x) symétrie d(x,y)≤ d(x, z) + d(z, y) inégalité triangulaire d(x, y) = 0 si et seulement si x = y.
Quelle est la distance usuelle dans C ?
2.
Sur R (ou C) (x,y) ↦→ x − y est une distance qui est appelée la distance usuelle.
Lorsqu'on parle de R ou de C comme d'un espace métrique mais sans autre précision, c'est de cette distance qu'il est question.
La topologie est une branche de la géométrie.
Elle se divise elle-même en plusieurs branches : La topologie générale fournit un vocabulaire et un cadre général — une définition axiomatique avec des ensembles — pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

Qu'est-ce qu'une métrique en maths ?