Mecanique du solideetMecanique analytique1Decembre2008Ch. Duval2Figure1 { Joseph-Louis Lagrange1. Enseignement de la Licence de Physique de Luminy2.
Departement de Physique, Universite de la Mediterranee & CPT-CNRS, Luminy,Case 907, F{13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE; mailto : duval@cpt.univ-mrs.friiTable des matieresIntroduction vii1 Les equations de Lagrange 11.
1) Une introduction heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 2) Illustration : Equations de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 3) Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. 1) Formalisme intrinseque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. 2) Exercices illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. 3) Liaisons holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. 4) Le couplage minimal au champ electromagnetique . . . . . . . 142 Les equations de Hamilton 172. 1) Equations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. 1) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1. 2) Le couplage minimal au champ electromagnetique . . . . . . . 212. 2) Crochets de Poisson et transformations canoniques . . . . . . . . . . 222.2. 1) Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. 2) Structure symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.
3) Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Mecanique des systemes en reperes mobiles 313.
1) Le groupe euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.
1) Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31iiiivTABLE DES MATIERES3.1.
2) Isometries euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. 2) Changements de referentiels non inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. 1) Prolegomenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. 2) Considerations mecanistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. 3) Loi de transformation de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. 4) Loi de transformation de l'acceleration . . . . . . . . . . . . . 413.2. 5) Forces inertielles : introduction generale . . . . . . . . . . . . 423.2. 6) Exemple : chute libre et deviation vers l'est . . . . . . . . . . 443.2. 7) Exemple : le pendule de Foucault (1819-1868) . . . . . . . . . 464 Mecanique du solide 494. 1) Dynamique des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1. 1) Theoreme general I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1. 2) Theoreme general II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504. 2) Congurations solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. 1) Espace de conguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. 2) Champ de vitesse dans les solides . . . . . . . . . . . . . . . . 534. 3) Cinetique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. 1) Centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. 2) Operateur d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. 3) Energie cinetique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. 4) Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3. 5) Lois de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644. 4) Equations d'Euler & mouvements de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . 664.4. 1) Equations d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. 2) Exemple : la toupie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4. 3) Mouvements de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684. 5) Toupie de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5. 1) Angles d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5. 2) Lagrangien de la toupie de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 744.5.
3) Mouvements de la toupie de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 76Bibliographie 81viTABLE DES MATIERESIntroductionNous allons, cette annee, aborder dans le cours de Mecanique du solide etMecanique analytique la formulation moderne des principes de la mecanique dessystemes dynamiques a un nombre ni de degres de liberte.
Le Lecteur consulteraavec prot les ouvrages classiques [1, 10] qui ont inspire ce cours.Le formalisme mathematique de la mecanique rationnelle developpe par Joseph-Louis Lagrange (1736{1813) dans un corpus scientique considerable, notammentsaMecanique analytique(1788), a conduit a une generalisation des principes dela mecanique newtonienne a des systemes dynamiques plus elabores que celui dusimple point materiel.
Leformalisme lagrangienque nous allons introduire tire sonorigine du principe des travaux virtuels (d'Alembert, Maupertuis) qui a recoursa la notion de mouvements virtuels d'un systeme pour determinerlemouvement reel de ce systeme.
Dans le cas de systemes soumis a des forces conservatives,les equations de Lagrange (equations du mouvement) sont derivees d'une seule etunique fonction,le lagrangienL, sans avoir a prendre en consideration les forcesde liaisons (holonomes) souvent tres complexes.
D'ou une simplication concep-tuelle et pratique de la mise en equation des problemes mecaniques.
Ce formalismeest egalement geometrique car independant du choix d'un systeme de coordonnees(generalisees); d'ou une extension naturelle au cas d'espaces de conguration tresgeneraux (varietes dierentiables).
Nous emaillerons cette partie du cours de nom-breux exemples illustratifs, notamment le probleme desNcorps, les pendules, cer-tains systemes a liaisons holonomes, le couplage minimal d'une particule chargee aun champ electromagnetique exterieur, etc.viiviiiINTRODUCTIONL'autre approche de la mecanique des systemes que nous aborderons concerne leformalisme hamiltonien (Sir William Rowan Hamilton, 1805{1865) introduit dansune serie de travaux, notamment dans son article \On a General Method in Dyna-mics" (1834).
Alors que le formalisme lagrangien mettait en jeu une fonctionLdel'espace tangent a l'espace de conguration du systeme (espace des couples position-vitesse), le formalisme hamiltonien a egalement recours a une unique fonction,H,mais denie cette fois-ci sur l'espace cotangenta l'espace de conguration (espacedes couples position-impulsion); cette fonction est l'hamiltoniendu systeme et cor-res
