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1L3 Physique et MecaniqueMecanique Lagrangienne(Version du 23 mars 2016)Luc PASTURTable des matieres1 Reperes historiques 31.

1) Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1. 2) Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.

3) Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2 Un nouveau principe fondamental en mecanique 102.

1) Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2. 2) Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. 3) Exemple : la particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2. 4) Deplacements et travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.

5) Principe de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3 Systemes sous contraintes 153.

1) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 3. 2) Une classication des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3. 3) Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3. 4) Forme d'une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 3.

5) Fonction dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 4 Theoremes de conservation 214.

1) Lagrangiens equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 4. 2) Moment conjugue et variable cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 4. 3) Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 4. 4) Impulsion et translation dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.

5) Moment cinetique et rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 5 Un principe fondamental en physique 255.

1) Vers une theorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 5.

2) Force de Lorentz et equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2Chapitre 1Reperes historiquesSi c'est une convention de dire que la Terre tourne, c'est egalementune convention de dire qu'elle existe, et ces deux conventions se jus-tient par des raisons identiques.Paul PAINLEVESommaire1.

1) Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1. 2) Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1. 3) Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.

1) CinematiqueLa cinematique est la science qui permet dedecrirele mouvement (position, vitesse, acceleration)des corps,relativementa d'autres corps qui servent dereferentiel(le sol, le soleil, les etoiles xes),tandis que la dynamique s'attache aexpliquerle mouvement des corps et les causes qui lui ontdonne jour.

On se donne unrepere, pour la mesure deslongueurs, et unehorloge, pour la mesuredesdurees.

Selon le probleme considere, on utilise l'un ou l'autre des reperes suivants :Le systeme de coordonnees cartesiennes (ex;ey;ez), xe dans le referentiel choisi.Le systeme de coordonnees cylindriques (e;e;ez), particulierement adapte lorsque lesysteme presente unaxe de symetrie.

C'est le cas par exemple du mouvement des corpscelestes dans le plan de l'ecliptique.Le systeme de coordonnees spheriques (er;e;e), adapte pour les problemes qui presententune symetrie spherique.Le systeme de coordonnees curvilignes, attache au corps solide et qui l'accompagne dansson mouvement.L'etude du mouvement des corps, par la determination de leuracceleration, suggere deja leprincipe fondamental deNewtonet permet de reveler desconstantes du mouvement.L'etude de la chute libre des corps, l^aches suivant la verticale ou sur un rail incline, permet de3CHAPITRE 1.

REPERES HISTORIQUES4mettre en evidence les mouvement uniformement acceleres, tels quea(t) =a0v(t) =v0+a0(tt0)x(t) =x0+v0(tt0) +12a0(tt0)2Il appara^t en outre une constante du mouvementG=12v2a0xqui n'est autre que l'energiemecanique du systeme :dGdt=vdvdta0= 0:L'etude du mouvement des planetes permet egalement d'etablirempiriquementles lois du mou-vement qui deviendront par la suite des consequences du principe fondamental de la dynamiquelorsque la force appliquee est centrale et inversement proportionnelle au carre de la distance entrele Soleil et la planete.Johannes Kepler, reprenant plus precisement l'analyse du mouvement dela planete Mars commencee par son ma^tre et amiTycho Brahe, et supposant que la trajectoirede la Terre est circulaire autour du Soleil, etablitpar l'observationles lois suivantes :Premiere loi: les centres des planetes decrivent des ellipses dont l'un des foyers estoccupe par le soleilSeconde loi: les rayons vecteurs balaient en des temps egaux des aires egalesTroisieme loi: les cubes des grands axes des orbites sont proportionnels aux carres destemps de revolution.Du point de vue de la Dynamique, les deux premieres lois impliquent une force centrale varianten 1=r2; la troisieme loi permet quant a elle d'etablir que la constante de gravitation ne dependpas des planetes.1.

2) DynamiqueOn peut raisonnablement considerer leprincipe de causalitecomme la base de la science mo-derne [9].

Dans son expression la plus simple, ce principe peut s'enoncer de la maniere suivante :(A) \Si a deux instants, les m^emes conditions sont realisees, transportees seulementdans l'espace et le temps, les m^emes phenomenes se reproduiront, transportes seulementdans l'espace et le temps."Cet enonce \intuitif" repose en fait sur notre habilete a denir l'espace et le temps, et notrecapacite a mesurer des longueurs et des durees.

Cette mesure ne peut porter, en pratique, que surdes quantitesrelatives, c'est-a-dire rapportees a un etalon, de longueur ou de temps.

Ainsi, si laregle utilisee se racourcit ou s'allonge quand on se deplace dans l'espace (par rapport au metre-etalon), ou qu'on mesure le temps a l'aide d'une horloge qui prend de l'avance ou du retard (parrapport a l'horloge siderale), les deux phenomenes compares, identiques dans le premier systemede mesure, appara^tront dierents dans le second.

En langagepositif, le principe s'enoncerait ainsid'une maniere legerement remaniee :\On peut mesurer la distance et le temps de telle facon que l'enonce (A) soit vrai."Implicitement, le principe de causalite suppose l'existence d'un systeme de referenceabsoludansl'espace et le temps, par rapport auquel les lois de la mecanique doivent ^etre rapportees.

C'est surce postulat fondamental | que les mouvements absolus satisfont rigoureusement au principe decausalite | que s'est construite la Mecanique.

Du principe de causalite, il devait resulter que l'etatinitial du systeme susait a determiner son mouvement.

Les scolastiques1et les coperniciens2acceptaient le principe de causalite; les premiers pensaient que l'etat initial du systeme etait1.

Ecole de pensee reposant sur les idees aristoteliciennes, integrees au dogme de l'Eglise.2.

Adeptes de la doctrine deCopernicdans laquelle le Soleil occupe le centre du monde et les planetes tournentautour de lui.CHAPITRE 1.

REPERES HISTORIQUES5entierement donne par lespositionsde ses elements a un instant donne, les seconds que les positionsseules ne susent pas et que lesvitessesinitiales de chacun des elements doivent ^etre egalementconnues.

La prise en compte des vitesses initiales du systeme, resulte de cetteobservationquele mouvement d'un corps isole tend a rester le m^eme.

Le principe de causalite ainsi interpreteconduit donc a la conclusion qu'un element materiel inniment eloigne de tous les autres resteabsolument xe si la vitesse initiale est nulle, et decrit une droite s'il est anime d'une vitesseinitiale.

Pour certaines raisons desimplicite, appuyees sur des observations astronomiques, lescoperniciens admettaient de plus que le mouvement absolu du systeme est non seulement rectiligne,mais egalementuniforme, qui donnera leprincipe de l'inertierepris parGalileepuis pose commepremiere loi parNewton.

Laforcese denit alors comme l'action qui fait devier un corps de sonmouvement rectiligne uniforme.

La grandeur dirigee qui represente mathematiquement la force doitdonc avoir lesensde la deviation et ^etre proportionnelle a la fois a lagrandeurde cette deviationet a laquantite de matieredeviee.

Le changement de la vitesse d'un corps par une force, durantun temps inniment petit, conduitGalileea denir la notion d'accelerationet ses successeursa \inventer" lecalcul dierentiel.

L'operation dedierentiationest ainsi capable de resoudre lesphenomenes les plus complexes du mouvement enactions elementaires, c'est-a-dire en actions quis'exercent entre elements de matiere pendant un temps innitesimal.

A l'inverse, lecalcul integralpermet d'eectuer l'operation inverse et de calculer le mouvement ni d'un coprs materiel a partirde la connaissance des forces qui s'exercent sur lui a chaque instant, et des conditions initialesproprement denies.

Le principe decomposition des forces, etabli en Statique depuis l'antiquite,GalilleeetNewtonl'admettent pour la Dynamique; elle permet de decomposer la force totalequ'un corps quelconqueSexerce sur un element materielPen forces exercees surPpar les diverselements deS.

La troisieme loi, dite de l'action et de la reaction, resulte de l'acceptation que laforce qui s'exerce entre deux corps ne depend que de leurs positions et non de leur vitesses absolues.Cette hypothese, acceptee comme \evidente" parGalilee, n'est pas dictee par l'experiencemaisest heritee des anciens principes scholastiques.

Ce postulat a neanmoins singulierement contribueau developpement de la Mecanique.Toutes les denitions supposent que les elements materiels sont formes d'atomes(au sensethymologique du terme) identiques.

Cette hypothese, longtemps restee inveriable, peut ^etreremplacee par l'adjonction d'unnombre, deni comme lamasse, qui repond aux conditions sui-vantes :i)il reste le m^eme quelles que soient les transformations subies par l'element, pourvu quecelui-ci ne perde ni n'acquiere aucune parcelle de matiere;ii)toutes les propositions eneonceesjusqu'ici reste vraies en regardant la masse d'un element comme le nombre de ses atomes.

Le corpsdes axiomes de la mecanique se trouve ainsi constitue independamment de toute arriere-penseesur la composition de la matiere.Newtonfait la distinction entre mouvementsrelatifs| ceux auxquels nous avons acces |,etabsolus| rapportes a l'espace absolu.

Un referentiel est donc necessaire, par rapport auquelest rapporte le mouvement d'un corps, et dans ce referentiel un repere, xe ou attache au corps,est choisi qui permet demesurerles caracteristiques du mouvement au cours du temps.

Il s'agitd'enoncer une ou plusieurs lois sur les causes du changement du mouvement.

La grandeur fonda-mentale introduite par Descartes est laquantite de mouvementp=mv, qui resulte du produit dela masse de l'objet par sa vitesse.

Les lois de la mecanique, selonNewton3, s'enoncent selon lestroisprincipessuivants :3.Robert Hookerevendiquait aussi la paternite de l'enonciation des principes fondamentaux de la Dynamique;malgre son indeniable contribution aux principes enonces parNewton, ce dernier refusa toujours aHookelesremerciements qu'il lui reclamait.CHAPITRE 1.

REPERES HISTORIQUES61.Principe d'inertieTout corps isole subsiste dans son etat de repos ou de mouvement rectiligneuniforme.2.Principe fondamental de la dynamiqueLa variation de la quantite de mouvement d'un corps est directement proportion-nelle a la somme de toutes les forces externes appliquees :dpdt=XFapp(1.1)3.Principe de reaction mutuelleDeux corps en interaction exercent l'un sur l'autres des actions egales en intensiteet opposees en sens.Il est utile ici de faire un certain nombre de remarques :La masse qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique est lamasse inerte,qui s'oppose a la mise en mouvement d'un corps ou a un changement de mouvement.

Ilest important ici de remarquer que lamasse grave, ou masse pesante, qui intervient dansla force d'attraction gravitationnelle, est a priori dierente de la masse inerte.

C'est unfaitd'experience que le rapport des masses graves de deux corps est egal au rapport deleurs masses inertes (a moins de 1012).

La concidence de ces deux grandeurs, toujoursin-expliquee, est a la base duprincipe d'equivalenceenonce parEinsteinen relativite generale.L'etat de repos correspond a un mouvement rectiligne uniforme avitesse nulle, ce qui peutsimplier encore l'enonce du premier principe.Lorsque la masse d'un corps est constante, le second principe se reduit ama=XFapp(1.2)ouaest le vecteur acceleration.

La question de laconstancede la masse inerte est a labase des developpements de la Mecanique, en ce que l'on reconna^t aux corps une qualitequi se conserve au cours du temps, tant^ot assimilee a saquantite de matiere(le premier adenir la masse de cette maniere futNewton), tant^ot denie comme le rapport inverse desaccelerations mutuellement induites par deux corps qui interagissent (ce que tE.

Machpour eviter le piege de la quantite de matiere qu'il jugeait vide de sens) [8].La force de Lorentz est un cas \etrange", en ce sens que cette force ne depend plus seulementde lapositionrelative de la particule chargee mais aussi de savitesse:F=q(E+vB).Une consequence est que l'action mutuelle que deux corps charges en mouvement exercentl'un sur l'autre ne se trouve pas portee par l'axe qui relie les deux particules, comme c'estgeneralement le cas des forces gravitationnellemgou electrostatiqueqE.

Le principe del'action et de la reaction reste valable, mais dans une formefaible.

Une autre consequence estque la force de Lorentz, adjointe aux equations de Maxwell,ne sont pas invariantes lors dupassage d'un referentiel d'inertie a un autre.Woldemar Voigt,George Fitzgerald,Hendrik Lorentz,Henri PoincareetAlbert Einstein, ont contribue, a des degresdivers, a developper la theorie nouvelle, (improprement) denommeerelativite restreinte[12].La transformation deLorentz-Poincarelaisse les equations de l'electromagnetisme in-variantes par changement de referentiel inertiel [5].Bien qu'Ernst Machreconnaisse pleinement le genie intellectuel d'Isaac Newton, etnotamment des concepts clairement formules dont la Mecanique lui est redevable, il n'enest pas moins tres critique a l'egard de saformulationdes principes de base de la Mecanique.CHAPITRE 1.

REPERES HISTORIQUES7Ainsi, selonMach, une formulation appropriee,economiquepour reprendre son expression,serait la suivante [8] :A.Principe experimental. | Deux corps en presence l'un de l'autre determinent l'un surl'autre, dans des circonstances qui doivent ^etre donnees par la physique experimentale,desaccelerationsopposees suivant la direction de la droite qui les unit. (Le principe del'inertie se trouve deja inclu dans cette proposition).B.Denition. | On appelle rapport des masses de deux corps l'inverse, pris en signecontraire, du rapport de leurs accelerations reciproques.C.Principe experimental. | Les rapports des masses des corps sont independantes des cir-constances physiques (qu'elles soientelectriques, magnetiques ou autres) qui determinentleurs accelerations reciproques.

Ils restent aussi les m^emes, que ces accelerations soientacquises directement ou indirectement.D.Principe experimental. | Les accelerations que plusieurs corpsA,B,C,:::determinentsur un corpsKsont independante