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Chapitre 3 : Applications 1 Introduction 2 Généralités

Comment montrer qu'une application est bien définie ?
Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec une relation binaire G ⊂ E × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartienne à G.
Exactement dans ce cas, une application f_G donnée comme relation binaire G ⊂ E × F est dite bien définie.
Comment montrer que deux applications sont égales ?
De ce fait, si E, E′, F, F′ sont des ensembles, deux applications f : E → F et g : E′ → F′ sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ (E = E′), même ensemble d'arrivée (F = F′) et même règle de calcul (f(x) = g(x) pour tout x dans E).
Quelle fonction n'est pas surjective ?
Exemples : La fonction f:R→R:x↦2x est surjective.
En effet, tout x∈R est l'image par f d'un réel : f(x2)=x.
La fonction f:R→R:x↦x2 n'est pas surjective.
De mémoire, en théorie des ensemble une application est définie pour tous les éléments de l'ensemble sur lequel elle s'applique, alors que pour une fonction chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second.

Comment montrer qu'une application est bien définie ?