Comment comprendre la logique des maths ?
Elle permet ainsi d'interpréter les formules d'un système formel dans un contexte donné.
Dans le cadre de la logique classique, il s'agit d'attribuer à chaque formule la valeur Vrai ou la valeur Faux, qu'on peut même respectivement identifier à donner la valeur 1 ou la valeur 0 (voir Algèbre de Boole).Quel est l'importance de la logique mathématique ?
Trois types de logique sont repérables dans la recherche en sciences humaines : logique intellectuelle, logique empirique et logique scientifique.
Quels sont les différents types de logique ?
1.
Science du raisonnement en lui-même, abstraction faite de la matière à laquelle il s'applique et de tout processus psychologique. 2.
Caractère logique, rationnel de quelque chose : Admirez la logique de son raisonnement.
Généralités-sur-la-logistique-pdf
Logistique-et-distributionpdf
LES MÉTIERS DE LA LOGISTIQUE ET DU TRANSPORT
LOGISTIQUE
LOGISTIQUE SUPPLY CHAIN
SEANCE1-1-Introduction aux Logistiques Spécifiques
Introduction générale à la logistique
Logistique des transports
Legislation du travail au maroc
Introduction à la Logique MathématiqueSeconde partie : Théorie des modèlesThomas Blossier, Julien Melleray, Frank WagneriiTable des matières6 Structures et théories 16.
1) Structures et sous-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2) Langage du 1er ordre et satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.3 Équivalence élémenaire, extension élémentaire . . . . . . . . . . . . . . 96.
4) Théories, modèles et ensembles définissables . . . . . . . . . . . . . . . 137 Compacité, Théorème de Löwenheim-Skolem 197.
1) Ultraproduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. 2) Le théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. 3) Théorème de Löwenheim-Skolem, Catégoricité . . . . . . . . . . . . . . 247.4) Applications en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Types et élimination des quanteurs 298.
1) Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298. 2) Elimination des quanteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3) Les corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Modèles atomiques, modèles saturés 399.
1) Types isolés et omission de types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.2) Modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41iiiivTABLE DES MATIÈRESChapitre 6Structures et théoriesLes théoriciens des modèles s"intéressent aux structures et à leurs ensembles définis-sables.
Ils étudient plus précisément des classes de structures suivant des propriétéspartagées par celles-ci, qui peuvent être par exemple combinatoires ou géométriques.Dans ce chapitre on présente des notions de base de la théorie des modèles.
Les aspectssyntaxiques des langages considérés sont introduits sans être complètement détaillés,l"essentiel pour les théoriciens des modèles étant le point de vue sémantique.6.
1) Structures et sous-structuresLes structures, structures de groupes, de corps , sont des objets usuels pour lesmathématiciens contemporains.
Dans la première partie du cours, la structure sous-jacente était réduite à un univers muni d"une unique relation binaire,2(et de l"égalité=).
Pour ce cours, nous définissons la notion de structures de la façon suivante :Définition 6.1.1.UnestructureMest la donnée d"unensemble de baseouuniversMnon videmuni :- d"une famille(cMi)i2Ide constantes, oùcMi2M,- d"une famille(fMj)j2Jde fonctions, où pour toutj2J,fMjest une fonctiontotale deMnjdansMpour un entiernj>0,- d"une famille(RMk)k2Kde relations, où pour toutk2K,RMkest un sous-ensemble deMmkpour un entiermk>0.On supposera de plus qu"une structure est toujours munie de l"égalité, c"est-à-direque la diagonale deM2est l"une des relationsRMk.
L"ensemble de baseMseraappelédomainedeMet sera souvent noté de la même façon queM.2.LelangageLassocié à une structureMconsiste en :- un symbole de constantecipour chaque constantecMi,- un symbole de fonctionfjd"ariténjpour chaque fonctionfMj,- un symbole de relationRkd"ariténkpour chaque relationRMk.12CHAPITRE 6.
STRUCTURES ET THÉORIES3.UneL-structureest une structureMdont le langage associé estL.Notation.Un langage arbitraire sera notéL=f(ci)i2I;(fj)j2J;(Rk)k2Kg:UneL-structure sera notéeM=hM;(cMi)i2I;(fMj)j2J;(RMk)k2Kiou plus simplement s"il n"y a pas d"ambiguitéM=hM;(ci)i2I;(fj)j2J;(Rk)k2Ki:Dans ces notations, l"égalité sera le plus souvent omise.Exemple 6.2.1.hN;0;+iethZ;0;+isont des structures ayant le même langage associéL=f0;+gqui est constitué d"un symbole de constante0, d"un symbole+de fonction binaireet d"un symbole de relation=pour l"égalité.2.
Le langage des ordresLord=fLe langage des anneauxLann=f0;1;+;;gcontient deux constantes0et1,trois fonctions binaires+,,, et l"égalité.5.
Le langage de la théorie des ensembles2.Remarque.Toute ensemble avec une relation binaire peut être vue comme uneLord-structure, même si cette relation n"est pas une relation d"ordre.
On pourrait par exempleconsidérer la structureM=hM; Nous utiliserons desformules construites à partir deLpour exprimer certaines propriétés.Nous fixons pour toute la suite un langageL=f(ci)i2I;(fj)j2J;(Rk)k2Kg.Définition 6.3.SoientMetNdeuxL-structures. AlorsMest unesous-structuredeN(on noteraMN) siMNet si cette inclusion préserve les constantes, lesfonctions et les relations, c"est-à-dire est telle que :- pour toute constantec2 L,cM=cN,- pour toute fonctionn-airef2 Let pour touta2Mn,fM(a) =fN(a),- pour toute relationn-aireR2 Let pour touta2Mn,a2RMssia2RN.Remarque 6.4.6.1. On dira aussi qu"une partieMdeNest unesous-structuredeNsiMcontient toutes les constantes et est close par toutes les fonctions. Dansce cas, on vérifie (exercice) que la structure "induite surM»M:=hM;(cNi);(fNjjMnj);(Rk\Mnk)iest une sous-structure, au sens précédent, deN.2. Il existe une plus petite sous-structure deNcontenantA, la sous-structure engendrée parA, qui est la clôturedeAet de l"ensemble des constantes deLpar les fonctions deL.3. Par exemple,Nest unesous-structure dehZ; Ajouter une fonctionfau langage telle que toute sous-structure dehK;0;1;+;;;fisoit un corps.Exercice 6.6.SoitIun ensemble totalement ordonné et(Mi)i2Iune chaîne deL-structures, c"est-à-direMiMjpour touti < j. Alors la réunionM=Si2IMi, estmunie canoniquement d"uneL-structure, notéeM=Si2IMi, qui satisfaitMiMpour touti2I.Définition 6.7.SoientMetNdeuxL-structures.1. UnmorphismedeMdansNest une applicationdeMdansNqui préserve lesconstantes, les fonctions et les relations de la façon suivante :- pour toute constantec2 L,(cM) =cN,- pour toute fonctionn-airef2 Let pour touta2Mn,(fM(a)) =fN((a)),- pour toute relationn-aireR2 Let pour touta2Mn, sia2RMalors(a)2RN.2. UnplongementdeMdansNest un morphismedeMdansNqui de plusvérifie pour toute relationn-aireR2 Let pour touta2Mn,a2RMsi et seulement si(a)2RN:Remarquons qu"un plongement est nécessairement injectif (car l"égalité est l"unedes relations du langage). Notons également que l"image d"un plongement estune sous-structure et que réciproquementMNest une sous-structure deNssi l"identité deMdansNest un plongement.3. STRUCTURES ET THÉORIESNous allons introduire maintenant la notion deva-et-vient, notion qui sera très utilepour l"étude de structures.Définition 6.8.SoientMetNdeuxL-structures.1. Unisomorphisme partieldeMdansNest un isomorphisme d"une sous-structuredeMsur une sous-structure deN. (Remarque : tout plongement est un isomor-phisme partiel.)2. Une famille non videFd"isomorphismes partiels deMdansNest unefamilleKarpienneentreMetNsi pour tout2 F,- pour toutm2M, il existe2 Fprolongeanttel quem2Dom()(VA),- pour toutn2N, il existe2 Fprolongeanttel quen2Im()(VIENT).On appelera aussi une famille Karpienne unva-et-vient.3. Deux structuresMetNsont1-équivalentess"il existe un va-et-vient entre elles.Exemple 6.9.Deux ordres totaux denses sans extrémité sont1-équivalents.SoienthX; Cette famille est évidemment nonvide : pour toutx2Xety2Y, l"application qui àxassocieyest un isomorphisme defxgsurfyg. Soitun isomorphisme deA=fa1;:::;ang XsurB=fb1;:::;bng Y.On peut supposer que pour touti,(ai) =biet quea1< a2< ::: < an. Montrons le VA (le VIENT est symétrique) : soitx2XnA.Alors ou bienx < a1et dans ce cas on prolongeen envoyantxsur uny < b1, ou bienai< x < ai+1et on prolongeen envoyantxsur uny2Ytel quebi< y < bi+1, oubienan< xet on prolongeen envoyantxsur uny > bn.Exemple 6.10.Deux corps algébriquement closK1etK2de même caractéristique etde degré de transcendance infini sont1-équivalents.SoitFla famille des isomorphismes entre des sous-corps finiment engendrés respecti-vement deK1etK2. CommeK1etK2ont même caractéristique,Fest non vide carleurs corps premiers sont isomorphes.Soit2 Fun isomorphisme dek1surk2. On obtient alors un isomorphisme dek1(a)surk2(b)qui prolongeen envoyantasurb.Ou bienaest transcendant surk1. Commek2est finiment engendré etK2est de degréde transcendance infini, il existeb2K2transcendant surk2. On considèreLK=f0;+;k:k2Kgle langage desK-espaces vectoriels, leskétant des fonctions unaires (les fonctions scalaires). STRUCTURES ET SOUS-STRUCTURES5Exercice 6.12.Donner un exemple de deux ordres totaux discrets infinis qui ne sontpas1-équivalents.Exercice 6.13.Montrer que la relation d"1-équivalence est bien une relation d"équi-valence.Remarque 6.14.Si deux structuresMetNsont isomorphes alors il existe un va-et-vient entre ces deux structures. En effet la famille réduite à un isomorphisme entre lesdeux structures est une famille Karpienne.Réciproquement :Proposition 6.15.Deux structures dénombrables1-équivalentes sont isomorphes.Démonstration.SoitFune famille Karpienne d"isomorphismes partiels définissant unva-et-vient entre deux structures dénombrablesMetN. On choisit une énumération(mi)i2NdeMet une énumération(ni)i2NdeN.On définit alors par récurrence une suite croissante(i)i2!d"isomorphismes partielsdansFtelle que pour touti2Net pour toutj < i,mj2Dom(i)etnj2Im(i):On choisit pour cela, n"importe quel élément deFpour0. On a donc(fM(a)) =i(fDom(i)(a)) =fIm(i)(i(a)) =fN((a))eta2RMssia2RDom(i)ssii(a)2RIm(i)ssi(a)2RN.Exemple 6.16.Deux ordres totaux denses sans extrémité et dénombrables sont iso-morphes. 2) Langage du 1er ordre et satisfactionAfin d"étudier lesensembles définissableset d"exprimer certaines propriétés d"une struc-ture, on considère des formules obtenues à partir du langage de base. On se restreintde manière arbitraire à un langage finitiste (formules de longueur finie) et du premierordre (on ne quantifie que sur des éléments de l"univers). Ce choix est fait pour des rai-sons pratiques car c"est un cadre qui fournit de "bons outils techniques", en particulierle théorème de compacité que nous présenterons dans le chapitre suivant.Dans ce langage, on pourra alors exprimer lesaxiomes(du premier ordre) satisfaits parune structure et donc parler dethéories.Nous avons précédemment fixé un langageLet nous allons de plus utiliser un en-semble infini dénombrable de variables qui sont généralement notéesx;y;z;t;xi;:::pour construire par induction lesL-termes et ensuite lesL-formules à l"aide de connec-teurs :Définition 6.17.1. On commence par définir l"ensemble destermesdu langageLpar l"inductionsuivante :- toutes les constantes deLet toutes les variables sont desL-termes,- sifest une fonctionn-aire deLett1;:::;tnsont des termes, alorsf(t1;:::;tn)est un terme.2. On définit ensuite l"ensemble desformulesdeLpar l"induction suivante :-Les formules atomiques: siRest une relationn-aire deLett1;:::;tnsont destermes alorsR(t1;:::;tn)est une formule,-Combinaisons booléennes (négation, conjonction, disjonction): siet sontdes formules alors:(non),(^ )(et ) et(_ )(ou ) sont desformules,-Quantifications universelle et existentielle: siest une formule etxest unevariable alors8x(pour toutx,) et9x(il existex,) sont des formules.3.Variables liées, variables libres:- siest une formule etxest une variable alors les occurrences dexdans lesformules8xet9xsontliéesau quanteur (ou quantificateur)8ou9, exceptéescelles qui étaient liées auparavant dans la formule,- siest une formule etxest une variable alors les occurrences dexqui ne sontliées à aucun quanteur sont diteslibres. Unénoncé(ouformule close) est une formule dont toutes les (occurrences de)variables sont liées.Remarque.Une formule est un mot fini constitué de symboles de constantes, fonc-tions et relations deL, de symboles de variables, de connecteurs et de séparateurs (lesparanthèses et la virgule).6.2. LANGAGE DU 1ER ORDRE ET SATISFACTION7Exemple 6.18.Les termes deLordsont les variables; les formules atomiques deLordsont les égalités et les inégalités. Les formules suivantes sont des énoncés deLordquidécriront, une fois interprétés, les ordres totaux stricts :1.8x:x < x,2.8x8y((x < y_y < x)_x=y),3.8x8y8z:((x < y^y < z)^(z=x_z < x)).Nous allons très rapidement passer au sens "naturel»que l"on donne à ces formulesdans une structure. Pour être tout à fait rigoureux dans nos futures définitions etdémonstrations par induction sur la construction des formules, il est nécessaire devérifier que la lecture des formules est unique. Chaque terme est, soit une variable, soit une constante, soit de la formef(t1;:::;tn)oùfest une fonction d"ariténett1;:::;tnsont des termes. Chaque formule est :- soit atomique et de la formeR(t1;:::;tn)oùRest une relation d"ariténett1;:::;tnsont des termes,- soit de la forme:oùest une formule,- soit de la forme(1^2)ou de la forme(1_2)où1et2sont deuxformules,- soit de la forme9xou de la forme8xoùest une formule etxest unevariable.Cette écriture estuniquement détermin