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Num´ero d"ordre : 19-2007Universit´e Claude Bernard Lyon 1Habilitation `a Diriger des Recherchessp´ecialit´e :math´ematiques puresCalculs et exp´erimentationsen th´eorie des nombresXavier-Fran¸cois ROBLOT- RAPPORTEURS -M.

Henri COHEN Universit´e Bordeaux 1M. Henri DARMON McGill University (Montr´eal)M. David SOLOMON King"s College (Londres)- JURY -M. Karim BELABAS Universit´e Bordeaux 1M. Henri COHEN Universit´e Bordeaux 1M. Jean-Marc COUVEIGNES Universit´e Toulouse 2M. David FORD Concordia University (Montr´eal)M. Laurent HABSIEGER Universit´e Claude Bernard Lyon 1M. Jean-Louis NICOLAS Universit´e Claude Bernard Lyon 1M.

Harold STARK University of California at San Diego- Juin 2007 -RemerciementsJe tiens tout d"abord `a exprimer toute ma gratitude `a Henri Cohen, David Fordet David Solomon.

Ils ont eu chacun une tr`es grande et significative influence surle d´eveloppement de mes activit´es de recherche, et sans aucun doute, sans eux, macarri`ere scientifique eut ´et´e bien moins passionnante.

Ainsi, je suis particuli`erementheureux qu"ils aient accept´e d"ˆetre acteur dans cette habilitation : David Solomon entant que rapporteur, David Ford en tant que membre du jury, et Henri Cohen en tantque rapporteur et membre du jury.Je suis aussi tr`es touch´e du grand honneur que me fait Henri Darmon en ayant accept´ede rapporter sur mes travaux.

Et je suis extrˆemement honor´e que Harold Stark, dontles recherches sont `a l"origine d"une grande partie de ces travaux, est accept´e de fairepartie du jury.

Je les remercie vivement tous les deux.Mes remerciements vont ´egalement `a Karim Belabas et Jean-Marc Couveignes pourleur participation au jury.

Je profite de l"occasion pour remercier Karim de son travailconstant et de son enthousiasme dans la maintenance et le d´eveloppement du syst`emePARI/GP, `a la suite de Henri Cohen.

Sans ce syst`eme, bon nombre de mes recherchesn"aurait pas pu avoir lieu.Mes coll`egues Laurent Habsieger et Jean-Louis Nicolas me font l"amiti´e de bien vouloirparticiper `a ce jury.

Je leur en suis tr`es reconnaissant, et je les remercie aussi pour latr`es bonne ambiance et l"excellente qualit´e math´ematique qu"ils ont su instaurer ausein du groupe de th´eorie des nombres et combinatoire de Lyon.Je n"oublie pas les chercheurs avec qui j"ai eu la chance de collaborer et aupr`es desquelsj"ai beaucoup appris, ainsi que les nombreux math´ematiciens qui, au cours de cesann´ees, ont contribu´e `a mes recherches grˆace `a d"enrichissantes discussions, et toutceux qui m"ont fait le cadeau de leur amiti´e.Dix ans apr`es ma soutenance de th`ese, j"ai aussi une pens´ee pleine de gratitude enversmes directeurs de th`ese : Francisco Diaz y Diaz et Michel Olivier qui ont guid´e mespremiers pas dans le monde de la recherche.Enfin, j"adresse toute ma tendresse `a Michiko et `a Kosk´e.

1) SommaireListe des travaux pr´esent´es 5Description des travaux pr´esent´es 71 Aspects explicites des conjectures de Stark . . . . . . . . . . . . . . . . 81.

1) La conjecture ab´elienne de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. 2) Le cas non ab´elien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.

3) Une conjecture de Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Algorithmique des nombresp-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.

1) Extensions d"un corpsp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. 2) Factorisation des polynˆomes dansQp[X] . . . . . . . . . . . . . 222.

3) Fonctions zˆetap-adiques de corps quadratiques r´eels . . . . . . . 243 Autres travaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.

1) Cryptographie sur les modules de Drinfeld . . . . . . . . . . . . 263. 2) Compter les nombres premiers dans les classes de congruences . 273. 3) Nombre de solutions deA2+B2=C2+C. . . . . . . . . . . . 283.

4) Densit´e des entiers de la formep+ 2k. . . . . . . . . . . . . . . 28Bibliographie 313Liste des travaux pr´esent´es[T1] Henri Cohen et Xavier-Fran¸cois Roblot.

Computing the Hilbert class field ofreal quadratic fields.Math. Comp., 69(231), 1229-1244, 2000.[T2] Xavier-Fran¸cois Roblot et Brett A. Tangedal. Numerical verification of theBrumer-Stark conjecture. InAlgorithmic number theory(Leiden, 2000), vo-lume 1838 deLecture Notes in Comput. Sci., pages 491-503. Springer, Berlin,2000.[T3] Sebastian Pauli et Xavier-Fran¸cois Roblot. On the computation of all exten-sions of ap-adic field of a given degree.Math. Comp., 70(236), 1641-1659,2001.[T4] David Ford, Sebastian Pauli et Xavier-Fran¸cois Roblot. A fast algorithmfor polynomial factorization overQp.J. Th´eor.

Nombres Bordeaux, 14(1),151-169, 2002.[T5] Roland Gillard, Franck Leprevost, Alexei Panchishkin et Xavier-Fran¸cois Ro-blot.

Utilisation des modules de Drinfeld en cryptologie.C. R. Math. Acad.Sci. Paris, 336(11), 879-882, 2003.[T6] Arnaud Jehanne, Xavier-Fran¸cois Roblot et Jonathan Sands.

Numerical ve-rification of the Stark-Chinburg conjecture for some icosahedral representa-tions.Experiment.

Math., 12(4), 419-432, 2003.[T7] Cornelius Greither, Xavier-Fran¸cois Roblot et Brett A. Tangedal. TheBrumer-Stark conjecture in some families of extensions of specified degree.Math. Comp., 73(245), 297-315, 2004.[T8] Marc Del´eglise, Pierre Dusart et Xavier-Fran¸cois Roblot. Counting primes inresidue classes.Math. Comp., 73(247), 1565-1575, 2004.[T9] Xavier-Fran¸cois Roblot et David Solomon. Verifying ap-adic abelian Starkconjecture ats= 1.J.

Number Theory, 107(1), 168-206, 2004.[T10] Jean-Michel Muller, Jean-Louis Nicolas et Xavier-Fran¸cois Roblot.

Nombrede solutions dans une binade de l"´equationA2+B2=C2+C.Enseign. Math.(2), 50(1-2), 147-182, 2004.[T11] Laurent Habsieger et Xavier-Fran¸cois Roblot. On integers of the formp+2k.Acta Arith., 122(1), 45-50, 2006.

5) Description des travaux pr´esent´esDansMathematics Unlimited, livre qui offre un panorama des math´ematiques `al"aube du XXI`emesi`ecle et quelques perspectives pour le futur, H.

Cohen [2001] ´ecritau sujet de la th´eorie des nombres"( ) [N]umber theory( )should be thought of more as a naturalscience.

In particular, it shares in common with the natural sciences theproperty that it is a stronglyexperimentalsubject.

In this respect, expe-riments allow the number theorist tointeractwith the nature of numbers,much as natural scientist interacts with Nature."Les travaux pr´esent´es dans ce m´emoire se placent dans cette perspective et tententd"´etudier la th´eorie des nombres du point de vue th´eorique et du point de vue exp´eri-mental.

Ces travaux se partagent naturellement en trois parties : les aspects explicitesdes conjectures de Stark, l"algorithmique des nombresp-adiques, et les recherchesprovenant de collaboration sur d"autres domaines.Les conjectures de Stark et leurs variations forment un domaine tr`es vaste et f´econdqui se prˆete particuli`erement bien aux m´ethodes explicites, puisque, de fait, la plupartdes r´esultats sont des conjectures qui restent `a d´emontrer.

Je d´ecrit dans ce m´emoiredes recherches effectu´ees pour v´erifier num´eriquement plusieurs variations : la conjec-ture de Brumer-Stark sur des corps quadratiques et cubiques,†la conjecture de Stark-Chinburg pour les r´epresentations icosa`edrales, une conjecture de Solomon portant`a la fois sur les valeurs des fonctionsLcomplexes et des fonctionsL p-adiques.

Detelles v´erifications num´eriques ont essentiellement deux buts : dans un premier temps,il s"agit de donner plus de poids `a ces conjectures; dans un deuxi`eme temps, elles per-mettent de mieux cerner l"objet pr´edit et d"en ´etudier les propri´et´es.‡Un autre champd"application des conjectures de Stark est la r´esolution du 12`eme probl`eme de Hilbert.Un travail montrant comment construire (conjecturalement) les corps de classes deHilbert de corps quadratiques r´eels est pr´esent´e en d´ebut de section.La deuxi`eme partie porte sur l"algorithmique des nombresp-adiques et d´ecrit troisalgorithmes de calcul.

Le premier algorithme, suivant les travaux initi´es par Krasner,permet de construire toutes les extensions de degr´e donn´e d"un corpsp-adique.

Ledeuxi`eme factorise les polynˆomes sur le corpsQpdes nombresp-adiques rationnels.Ce probl`eme a de nombreuses applications en th´eorie algorithmique des nombres etainsi il est important de pouvoir le r´esoudre de mani`ere efficace.

Le troisi`eme calcule la†Plusieurs cas de cette conjecture sont aussi d´emontr´es dans les travaux pr´esent´es.‡Ce qui peut amener parfois `a des raffinements.

7) Calculs et exp´erimentations en th´eorie des nombresvaleur ens= 1 de fonctions zˆeta (tordues)p-adiques de corps quadratiques r´eels.

Cecalcul est notamment utilis´e pour v´erifier num´eriquement la conjecture de Solomon,mentionn´ee ci-dessus.La derni`ere partie est le fruit de collaborations initi´ees par mes coll`egues de Lyon etde Grenoble.

Une de ces collaborations porte sur l"utilisation des modules de Drinfelden cryptographie, les autres sur des aspects explicites de la th´eorie analytique desnombres.

1) Aspects explicites des conjectures de StarkLes conjectures de Stark portent sur les valeurs du terme dominant ens= 0des fonctionsLde corps de nombres.

Elles ont ´et´e d´evelopp´ees par Stark dans unes´erie d"articles fondateurs [Stark, 1971, 1975, 1976, 1977a,b, 1980, 1981].

Ces conjec-tures, leurs g´en´eralisations et leurs variations sont de nos jours au coeur d"un vastedomaine de recherche en pleine activit´e, comme le prouvent par exemple les actes dela conf´erence sur ce th`eme qui s"est tenue en 2002 `a Baltimore [Burns et al., 2004].

Unexcellent ouvrage de r´ef´erence sur le sujet, bien que datant un peu, est le livre de Tate[1984].D`es l"origine, les aspects explicites ont jou´e un rˆole primordial dans ce domaine,avec d"ailleurs plusieurs v´erifications num´eriques effectu´ees par Stark [1976, 1977a,b,1980] lui-mˆeme.

L"article [Dummit, 2004] donne un survol r´ecent des diff´erents calculsnum´eriques autour ces conjectures.

C"est dans le cadre de cet ´etude explicite et algo-rithmique que s"inscrit une partie importante de mes travaux de recherche, `a savoirles articles [T1, T2, T6, T7, T9], que je pr´esente dans ce chapitre.Notations et conventions.Dans ce texte, tous les corps de nombres sont vus commesous-corps de¯Q?C, donc il existe toujours une place infinie particuli`ere, `a savoirl"identit´e.

PourEun corps de nombres, on noteOEetdEl"anneau des entiers et lediscriminant deE.1.

1) La conjecture ab´elienne de rang1SoitK/kune extension ab´elienne de corps de nombres, de degr´e relatifNet degroupe de GaloisG.

SoitSun ensemble fini de places dekcontenant les places infiniesainsi que les places finies qui se ramifient dansK/k.

A chaque caract`ereχ?ˆG, legroupe des caract`eres deG, est associ´e une fonctionLde Hecke d´efinie pour toutnombre complexesavec?(s)>1 par le produit eul´erienLS(s,χ) =?p/?S(1-χ(p)Np-s)-1o`upparcourt les id´eaux premiers dekn"appartenant pas `aSetχ(p) =χ(σp) avecσpl"automorphisme de Frobenius depdansG.

Ces fonctions admettent un prolon-gement holomorphe au plan complexe siχn"est pas le caract`ere trivial deG, et unprolongement m´eromorphe avec un pˆole simple ens= 1 sinon.

8) Aspects explicites des conjectures de StarkSoitσ?G, on d´efinit la fonction zˆeta partielle associ´ee `aσparζS(s,σ) =1N?χ?bGLS(s,χ)χ(σ) =?(a,S)=1σa=σNa-s(1.1)o`u la derni`ere somme, convergeante pour?(s)>1, porte sur tous les id´eaux entiersadekpremiers avec les id´eaux premiers deSet dont le symbole d"Artinσaest ´egal `aσ.On suppose `a pr´esent queScontient au moins trois ´el´ements et une placevquise d´ecompose totalement dansK(pour une place infinie, cela signifie qu"il s"agit oubien d"une place complexe, ou bien d"une place r´eelle qui reste r´eelle dansK).

Sousces conditions, l"ordre d"annulation ens= 0 des fonctionsLS(s,χ) est au moins de1†(voir [Tate, 1984, Proposition I.3.4]), et on a la conjecture suivante (une versionincluant aussi le cas|S|= 2 qui est exclu ici pour simplifier l"´enonc´e est donn´ee dans[Tate, 1984, Chapitre IV,§2]).Conjecture 1.1(Stark).Soitmle nombre de racines de l"unit´e contenues dansKet soitwune place fix´ee deKau-dessus dev.

Il existe unev-unit´eεdeKtelle que,pour toutσ?G, on alog|σ(ε)|w=-mζ?S(0,σ).(1.2)De plus, pour toutλ?¯Qtel queλm=ε, l"extensionK(λ)/kest une extensionab´elienne.Remarque 1.2.L"´el´ementε, quand il existe, est appel´e l"unit´e de Stark associ´ee `al"extensionK/k, `a l"ensemble de placesSet `a la placewdeK, ou plus simplementune unit´e de Stark.Remarque 1.3.Unev-unit´eεdeKest un entier alg´ebrique deKtel que|ε|w?= 1pour toute placew?deKne divisant pasv.

En particulier, sivest une place infinie,alors unev-unit´e est aussi une unit´e.Remarque 1.4.Pourl≥2 tel queKcontienne les racinesl-i`emes de l"unit´e, un´el´ementα?K×est ditl-ab´elien pourK/ksi pour toutλ?¯Qtel queλl=α,l"extensionK(λ)/kest ab´elienne.‡Ainsi, la derni`ere propri´et´e peut se reformuler endisant queεestm-ab´elien pourK/k.Corps de classes de Hilbert des corps quadratiques r´eelsLe 12`eme probl`eme de Hilbert [2000] pose la question de construire les corps declasses de rayon d"un corps de nombresk`a l"aide de valeurs sp´eciales de fonctionsanalytiques attach´ees `a ce corps.

De telles constructions sont connues quandkestle corps des rationnels (en utilisant le th´eor`eme de Kronecker-Weber [Lang, 1994,Chapitre X,§3]) ou un corps quadratique imaginaire (en utilisant la th´eorie de la†Et donc par (1.1) il en est de mˆeme pour les fonctions zˆeta partiellesζS(s,σ).‡PuisqueKcontient les racines de l"unit´e d"ordrel, le corpsK(λ) ne d´epend pas du choix deλ.

9) Calculs et exp´erimentations en th´eorie des nombresmultiplication complexe, voir [Cohen, 2000, Section 6.3]).

Une des motivations desconjectures de Stark ´etait de fournir une r´eponse `a ce probl`eme.De fait, dans le cas o`u le corpskest totalement r´eel, on obtient une r´eponse partiellegrˆace `a la conjecture 1.1, notamment en utilisant le r´esultat suivant, d´emontr´e dans[Roblot, 2000], et qui est extrait de mon travail de th`ese.Th´eor`eme 1.5.Soitkun corps totalement r´eel distinct deQ.

Soitvla place infinie dekcorrespondant `a l"identit´e.

On suppose que la conjecture 1.1 est v´erifi´ee pour toutesles extensions ab´eliennes finies dekdans lesquellesvest totalement d´ecompos´ee.Alors, pour toute extension ab´elienne finieL/kavecLtotal