Quelle est l'importance des mathématiques dans nos vies ?
En quelque sorte, les mathématiques organisent la vie humaine.
Elles nous permettent aussi de développer un raisonnement logique, critique et à mieux se repérer dans l'espace.Comment faire pour bien comprendre les mathématiques ?
Pour comprendre les mathématiques, il existe plusieurs méthodes :
1Engager un professeur particulier de maths,2Réviser avec un ami qui a un bon niveau en mathématiques,3S'inscrire dans un institut d'aide aux devoirs,4Intégrer une association où des bénévoles proposent des cours de soutien de maths.- Le raisonnement mathématique fait appel à des règles d'inférence et de déduction faisant intervenir des définitions, des énoncés admis comme prémisses, des lois ou propriétés, des résultats préalablement obtenus également par raisonnement, dans le but de démontrer des hypothèses ou des conjectures.
Notes de cours mat1500 mathématiques discrètes automne 2018
INTRODUCTION À LA THÉORIE DES CORDES
Théorie des cordes
La théorie des cordespdf
La théorie des cordes
Petite introduction à la théorie des cordes
Initiation à la théorie des cordes
Histoire de la théorie des cordes
Docteur de l'Ecole polytechnique Physique Théorique Pierre
1/104Introduction aux mathématiques discrètesFrançois SchwarzentruberUniversité de Rennes 11/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 12/104Pourquoi cette mise à niveau en mathématiques ?Plus tard :IDéveloppeurIIngénieurIChercheurPour avoir les idées claires :Icommuniquer ses idées dans un langage mathématiquepropreIcomprendre les autres,Iraisonner (terminaison d"un programme, etc.)2/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 23/104IntroductionCe cours est un voyage au pays des mathématiques discrètes.BibliographieIAndré Arnold, Irène Guessarian.
Mathématiques pourl"informatique.IAlfred Aho, Jeffrey Ullman.Concepts fondamentaux del"informatique.3/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 34/104PlanDémonstrationEnsemblesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité4/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 45/104PlanDémonstrationImplicationEquivalenceEnsemblesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité5/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 56/104SyllogismesOn sait que :ITous les hommes sont mortels;ISocrate est un homme.On en déduit :ISocrate est mortel.6/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 67/104DémonstrationOn sait que :1.T ousles hommes sont des pr imates;2.T ousles mamifères sont mor telset sympas; 3.T ousles pr imatessont des mamifères; TheoremSocrate est un homme alors Socrate est mortel. (on noteSocrate est un homme)Socrate est mortel)Proof.Supposons que Socrate est un homme.
Par 1. Socrate est uneprimate. Par 3. Socrate est un mamifère. Par 2.Socrate estmortel et sympa, donc en particulier il est mortel.7/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 78/104PlanDémonstrationImplicationEquivalenceEnsemblesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité8/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 89/104EquivalenceOn dit queA,Bsi:IA)BIB)A.9/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 910/104ExerciceOn sait que :1.T ousles hommes sont des pr imates;2.T ousles hommes sont intelligents; 3.T ousles pr imatessont des mamifères; 4.T ousles êtres intelligents sont conscients; 5.Les mamifères conscients sont des hommes; Montrer que Socrate est un homme ssi Socrate est unmamifère intelligent.10/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1011/104PlanDémonstrationEnsemblesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité11/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1112/104PlanDémonstrationEnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de donnéesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité12/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1213/104Ensembles - MotivationManipulation d"ensembles dans un algorithme :IEnsemble de chansonsIJeu vidéo : ensemble des ennemisITrajet en train : parcours d"un graphe et ensemble dessommets visitésIetc.13/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1314/104EnsembleVoici trois entiers, trois éléments 14/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1415/104EnsembleOn crée un ensemble :Notation :f1;2;3g15/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1516/104Relation entre éléments et ensemble : appartenancel"élémentxappartient à l"ensembleE ou xest dansENotationx2EI12 f1;2;3g1 appartient à l"ensemblef1;2;3gI462 f1;2;3g4 n"appartient pas à l"ensemblef1;2;3g16/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1617/104Des ensembles on peut en créer pleins !If1;2;3;5gIf3;6gIf1gIf1;:::;100gIN(ensemble des entiers naturels)17/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1718/104L"ensemble videNotation;RemarquePour tout élément x, on a x62 ;!18/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1819/104Ensemble : l"ordre n"a pas d"importancef1;2;3g f1;3;2g f2;1;3g:::19/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 1920/104Définition en intensionNotationEnsemble des éléments de A qui vérifient la propriété P :fx2AjP(x)gfx2Njxest pairgfx2Njxest impairg20/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2021/104Egalité de deux ensemblesDefinitionDeux ensembles sont égaux s"ils contiennent les mêmeéléments.NotationA=BIf1;2;3g=f2;1;3gIf1;2g=f1;2gIf1;2g 6=f1;2;3g21/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2122/104Inclusion entre ensemblesDefinitionL"ensembleAest inclu dans l"ensembleBsi tous les élémentsdeAsont dansB.NotationABIf1;2g f1;2;3g22/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2223/104Héritage et inclusionSi la classe Chat hérite de la classe Animal, alors l"ensembledes instances de Chat est inclus dans l"ensemble desinstances de Animal.23/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2324/104CardinalitéDefinitionSoitAun ensemble fini.
Le cardinal deAest le nombred"éléments dansA.ExempleIcard(f1;4;456g) =3;Icard(f1;4;456;5;6g) =5.24/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2425/104Mise au pointIPour tout ensembleAon a; AIABetBAsi, et seulement siA=B.25/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2526/104PlanDémonstrationEnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de donnéesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité26/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2627/104Union et intersectionIUnion : "on prend tout"f1;2g [ f2;3g=f1;2;3gIIntersection : "on prend ce qui est commun"f1;2g \ f2;3g=f2g27/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2728/104ComplémentaireDefinitionAprivé deBest l"ensemble des éléments deAqui ne sont pasdansB.NotationAnB28/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2829/104Complémentaire - exemplesIf1;2;3g n f1;2g=f3gINn f1;2;3g: ensemble des entiers naturels qui ne sont ni1, ni 2 et ni 3.29/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 2930/104AlgèbreIS[T=T[S;IS[(T[R) = (S[T)[R;IS\T=T\S;IS\(T\R) = (S\T)\R;IS\(T[R) = (S\T)[(S\R);IS[(T\R) = (S[T)\(S[R);ISn(T[R) = (SnT)nR;I(S[T)nR= (SnR)[(TnR)IS[ ;=S;IS[S=S\S=S30/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3031/104ExercicesExerciceMontrer queAB,A\B=A,A[B=B.ExerciceMontrer queA=B,A[B=A\B.31/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3132/104PlanDémonstrationEnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de donnéesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité32/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3233/104Couple(3;5)est un couple composé :Id"une première coordonnée égale à 3 ;Id"une deuxième coordonnée égale à 5.33/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3334/104Produit cartésienLe produit cartésien deAetBest l"ensemble des couples(x;y)oùx2Aety2B.NotationABNNest l"ensemble des couples d"entiers.f1;2g f3;4;5g=:::34/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3435/104ExerciceExerciceRésoudre l"équation AB=;.ExerciceIA-t-on(A\B)(C\D) =?(AC)\(B\D)?IA-t-on(A[B)(C[D) =?(AC)[(B\D)?(donner une démonstration ou un contre-exemple)35/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3536/104PlanDémonstrationEnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de donnéesDeux techniques de démonstrationRelationsLogiqueCardinalité36/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3637/104Parties d"un ensembleQuels sont les sous-ensembles de ça ?37/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3738/104Parties d"un ensembleIl y en a six :; f1g f2g f3g f1;2g f2;3g f1;3g f1;2;3g38/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3839/104Ensemble des parties d"un ensemblef;;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f2;3g;f1;3g;f1;2;3gg39/104François Schwarzentruber Université de Rennes 1Introduction aux mathématiques discrètes 3940/104Ensemble des parties d"un ensembleDefinitionP(A)est l"ensemble des ensembles inclus dansA.P(f1;2;3g) =f;;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f2;3g;f1;3g;f1;2;3ggABssiA2