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Cours de Topologie L3-mathRenaud LeplaideurAnnee 2014-2015UBO2Table des matieres1 Rappels, preliminaires 51.

1) Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. 1) Formalisme ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. 2) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. 3) Ensemble et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. 2) Cardinalites, ensembles compliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. 1) Cardinal d'un ensemble-Ensemble (non)-denombrable . . . . . . . . 91.2. 2) Ensembles compliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.

3) Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Espaces metriques 132.

1) Notions, objets et proprietes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. 1) Denition d'une distance, exemples et contre-exemples . . . . . . . 132.1. 2) Ensembles ouverts, ensembles fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1. 3) Interieur, adherence, ensembles denses . . . . . . . . . . . . . . . . 172. 2) Suites dans un espace metrique-Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . 192.2. 1) Convergence-divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. 2) Caracterisation des adherences et des fermes . . . . . . . . . . . . . 202.2. 3) Caracterisation des interieurs (et des ouverts) . . . . . . . . . . . . 212.2. 4) Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.

5) Application de la completude : le theoreme de Baire . . . . . . . . . 243 Continuite-Homeomorphismes 273.

1) Denition. La continuite preserve la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. 1) Denition. Caracterisation avec les ouverts et les fermes . . . . . . . 273.1. 2) Images directes d'ouverts ou de fermes . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1. 3) Notion de topologie. Distances equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 283. 2) Homeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. 1) Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. 2) Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313. 3) Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.

4) Theoreme du point xe pour les applications contractantes . . . . . . . . . 334 Espaces compacts 354.

1) Denition a l'aide des recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. 1) Preliminaires : topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. 2) Recouvrement d'ouverts, intersections de fermes . . . . . . . . . . . 3534 TABLE DES MATIERES4.1. 3) Quelques proprietes des compacts et caracterisations des compactsdeR. Exemple du Cantor triadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1. 4) Le Cantor Triadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. 2) Compacts et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. 1) Valeur d'adherence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. 2) Caracterisation sequentielle d'un compact. Completude des compacts 394. 3) Compacts et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. 1) Image d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. 2) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.

3) Uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Espaces Vectoriels Normes 455.

1) Normes sur un espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1. 1) Denition et distance associee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1. 2) Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455. 2) Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2. 1) L'evnL(E;F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2. 2) Normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495. 3) Compacite et EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. 1) Compacite ou non compacite des boules unites . . . . . . . . . . . . 505.3. 2) Equivalence des normes en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . 515.3. 3) Application : Partition de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3. 4) Un critere de compacite dansC0: theoreme d'Ascoli . . . . . . . . . 525. 4) EVN complets : espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. 1) Denition, exemples et une description . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. 2) Theoreme de Stone-Weirstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.

3) Series et critere de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 Espaces connexes 576.

1) Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1. 1) Un titre a trouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1. 2) Caracterisation des connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576. 2) Connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2.

1) Les connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2.2 connexite par arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Chapitre 1Rappels, preliminaires1.

1) Rappels sur les ensembles1.1. 1) Formalisme ensemblisteUn ensembleEest une collection (eventuellement vide)d'elements. L'ensemble videse note;. Un ensemble decrit a partir de ses element se note avec des accolades.

Poursignier quexest un element deEon ecritx2E.Exemple 1.f0;1;2gdesigne l'ensemble compose des 3 elements, 0, 1 et 2.On dispose d'operation sur les ensembles :1.

L'intersection,\. SiAetBsont deux ensembles,A\Best l'ensemble des elementsqui appartiennent aAet aB.2. L'union,[.

SiAetBsont deux ensembles,A[Best l'ensemble des elements quiappartiennent aAou aB(c'est a dire a au moins l'un des deux).3.

L'inclusion,. SiAetBsont deux ensembles, ecrireABsignie que tous leselements deAsont aussi elements deB. On dit alors queAest unsous-ensembleou une partiedeB.4.

Le produit,AB, designe l'ensemble descouplesdont la premiere coordonnee estdansAet la deuxieme dansB, c'est a direAB=f(x;y); x2A; y2Bg:Nier l'inclusion,A6Bsignie queAcontient un element qui n'est pas dansB.

Ainsi,;est inclus dans tout ensemble.L'intersection et l'union peuvent se faire sur une famille quelconque.

Ainsi, l'intersec-tion de deux ensembles permet de denir par recurrence l'intersection d'un nombre nid'ensembles.

Mais on peut aussi avoir une intersection (ou une union) innie :Exemples 2.\n2NAndesigne l'intersection que tous les ensemblesAnc'est a direx2 \n2NAnsi et seulement si8n; x2An:Sx2IAxdesigne l'union desAx, c'est a dire queyappartient a cette union si et seule-ment siyappartient a l'un (au moins) desAx.56 Chapitre 1.

Rappels, preliminairesExercice 11/ Decrire\x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.2/ Decrire[x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.3/ Decrire\x2]";"[[x1;x+ 1] avec" >0 xe.L'inclusion est une relation d'ordre partielle sur les ensembles.

Relation d'ordre signieque1. l'inclusion est reexive :AA, .2. L'inclusion est transitive : siABetBCalorsAC.3.

L'inclusion est antisymetrique : siABetBA, alorsA=B.Remarque 1.Cette derniere propriete permet de verier dans la pratique l'egalite dedeux ensembles.

On montre la double inclusion.DireA(Bsignie queAest inclus strictement dansB, c'est a direABetB6A.SiEest un ensemble, on denit un nouvel ensemble, appele ensemble des parties deEet noteP(E) qui est l'ensemble des sous-ensembles deE.

Comme; EetEE,P(E) n'est jamais vide; il contient;etE(si celui-ci n'est pas vide).Sixest un element deE,fxgest unsingleton, c'est a dire un ensemble qui ne contientqu'un unique element, cet element etantx.

Ainsifxg E, ce qui s'ecrit aussifxg 2 P(E).On prendra soin de ne pas confondrexetfxg.

L'un est un element deE, l'autreun sous-ensemble deE.Exemple 3.Ainsi les ecrituresxEetfxg 2En'ont aucun sens.Dans ce cours on utilisera souvent des cha^nes d'appartenance du type :x2UAce qui signie quexest un element d'un ensembleUqui est lui un sous-ensemble deA.Exemple 4.On pourra ecrirex2 fxg E.Lemme 1.1.1.Soit(Ai)i2Iune famille de sous-ensembles deE.

On poseBi:=EnAi.Alors\i2IAi=En[i2IBiDemonstration.Par denition du complementaire un element deEappartient a exacte-ment l'un des ensemblesAiouBi.

Direx2 \Aisignie quexest dans tous lesAidoncdans aucunBidonc dans le complementaire de[Bi.Reciproquement, direx2En [Bisignie quexn'est dans aucunBidans dans touslesAi.1.1.

2) ApplicationsPremieres denitionsEtant donnes deux ensemblesEetF, on appelleapplicationdeEversFtouteoperation qui consiste a associer a chaque elementxdeEun element (et un seul) dans1.1.

Rappels sur les ensembles 7F. Souvent, on donne un nom a l'application, et souvent ce seraf, et l'element associe axse notef(x). On note aussif:x7!xpour dire qu'on considere l'applicationf. L'ensembleEest l'ensemble de depart, l'en-sembleFest l'ensemble d'arrivee.

Ils ne sont pas necessairement identiques (ni de \m^emenature").Sixest un element deEetf:E!Fune application,f(x) s'appellel'imagedexparf.

Siyest un element deF(ensemble d'arrivee) et si on ay=f(x), alors on dire quexestunantecedentdeyparx.

Sixn'a qu'une seule image, l'elementypeut lui avoirplusieurs antecedents (ou aucun).Une applicationf:E!Fse caracterise par songraphe.

Le graphe defest l'ensembledes elements deEFde la forme (x;f(x)).Il est courant de parler d'une application a partir de son expression enxlorsque celle ciexiste.

C'est cependant unabus de langage source d'erreurs de d'incomprehensions.Exemple 5.On parle dex2pour decrire l'application qui associe a chaquexdeRsoncarre,x2=x:x.

On voit aussiexpourx7!exou encore sin(x) pour l'application sinusou sin.On rappelle quef:E!Fest dite :1.injectivesi chaqueyde l'ensemble d'arrivee aau plusun antecedent parf.

Celasignie aussi que toute paire d'elementsxetx0dierents dansE,f(x)6=f(x0), ouencore, que sif(x) =f(x0), alors (necessairement)x=x0.2.surjectivesi tout elementyde l'ensemble d'arrivee aau moinsun antecedent parf.3.bijectivesi elle est injective et bijective.Exemple 6.exp une une bijection deRdansR+.x7!x2n'est ni injective ni surjectivelorsqu'on la considere comme une application deRversR.

Elle est injective si on restreintl'ensemble de depart aR+et surjective si on restreint l'ensemble d'arrivee aR+egalement.Sif:E!Fest une bijection, chaqueydeFadmet un unique antecedent parf.Cela denit une autre application, inverse def, notee (souvent)f1.

Elle verief(x) =y()y=f1(x)Images et preimages d'ensemblesOn considere une applicationfdeEve