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ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURECONCOURS D"ADMISSION 2016FILIÈREPCCOMPOSITION DE PHYSIQUE-C-(U)(Durée : 6 heures)L"usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans documentd"accompagnement, est autorisé.

Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste detravail, et aucun échange n"est autorisé entre les candidats.Le sujet comprend 19 pages numérotées de 1 à 19Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il (elle) le signale lisiblementsur sa copie, propose la correction et poursuit l"épreuve en conséquence.⋆ ⋆ ⋆De l"utilisation d"impulsions électromagnétiques ultracourtes Audébutdu19ièmesiècle,lesprisesd"imagesdemouvementsmécaniquesétaientréaliséesàl"aidededispositifsphotographiques,dontlestempsd"expositionsétaientcontrôléspardesobturateursmécaniques.Cesdernierspermettaient de "figer" un mouvement avec des durées d"exposition minimales de typiquement 1ms.

Toutmouvement s"effectuant sur des échelles de temps inférieures donne alors une image floue.Afin de réaliser des prises de vue de mouvements rapides, un changement de paradigme a été proposé durantles années 1940 par Harold Eugene Edgerton, professeur de génie électrique au MIT.

Plutôt que de développerdes capteurs plus rapides avec un objet éclairé continûment, il proposa la technique de photographie strobo-scopique.

Le principe consiste alors à utiliser un capteur lent, mais d"éclairer l"objet avec un flash lumineux.Ainsi, malgré la lenteur du détecteur, la durée d"exposition est limitée désormais par la durée du flash lumi-neux, soit typiquement 1µs.

Cette technique a permis de produire les premières images de phénomènes mé-caniques rapides, comme par exemple l"impact d"une balle dans une pomme, réalisée avec un flash de 0.3µs(MIT Museum Collections, Bullet through apple (1964)).Le dévelopement récent des technologies laser a permis de produire des impulsions lumineuses dites "ultra-courtes" offrant alors la possibilité, de façon similaire à H.

E. Edgerton, d"étudier la dynamique moléculaireultrarapide à l"échelle microscopique.

Le prix Nobel de Chimie a été attribué en 1999 au professeur Ahmed H.Zewail (California Institute of Technology) pour avoir montré qu"il est possible ainsi d"observer le mouvementdes atomes d"une molécule au cours des réactions chimiques à l"aide de telles sources lumineuses.L"objet de ce problème est d"étudier différents systèmes physiques permettant de produire des impulsions ul-tracourtes, et les contraintes liées à leur manipulation.Ce sujet est constitué de trois parties indépendantes.

Chacune est divisée en sous-parties elles-mêmes largementindépendantes les unes des autres.

1) FormulaireConstantes fondamentalesVitesse de la lumière dans le videc=3.00×108m·s-1Constante de Planckh=2πħ=6.62×10-34J·sConstante d"AvogadroNa=6.02×1023mol-1Charge de l"électrone=1.60×10-19CMasse de l"électronme=9.11×10-31kgPermittivité du videε0=8.85×10-12F·m-1Valeurs numériques utiles1 picoseconde1ps=10-12s1 femtoseconde1fs=10-15s1 attoseconde1as=10-18s1 gigahertz1GHz=109Hz1 térahertz1THz=1012Hz1 électron-volt1eV=1.60×10-19Junité de masse atomique (amu) 1amu=1.66×10-27kgNotationsOn adopte la notation complexeG(t) pour toute grandeurG(t) réelle dépendant du temps selonG(t)=12(G(t)+G∗(t))=Re(G(t)).Relations utilessinp+sinq=2sinp+q2cosp-q2,cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.Formule du double produit vectoriel pour (⃗u,⃗v,⃗w)∈(R3)3⃗u∧(⃗v∧⃗w)=(⃗u·⃗w)⃗v-(⃗u·⃗v)⃗w, et (⃗u∧⃗v)∧⃗w=(⃗u·⃗w)⃗v-(⃗v·⃗w)⃗u.Analyse vectoriellePour⃗Aun champ de vecteur quelconque,-→rot(-→rot⃗A)=---→grad(div⃗A)-∆⃗A.

2) Intégrales diversesPoura∈Ctel que Re(a)>0,b∈Retn∈N,∫+∞-∞e-a2x22e-ibxdx=p2πae-b22a2,∫+∞-∞x2n+1e-a2x22dx=0,∫+∞-∞x2ne-a2x22dx=(2n)!2nn!1a2np2πa.La fonctionerreur, notée erf(x), est définie selonerf(x)=1pπ∫x-∞e-u2du,et on a la propriété suivantelimx→+∞erf(x)=1.-4-3-2-10123400.250.50.751xerf(x)Représentation graphique de la fonction erreur.Equation différentielle du première ordre avec second membre - méthode de la variation de la constanteOn considère l"équation différentielle (1) sur la fonction réelleydéfinie surR, de variable réellexselony′(x)+a(x)y(x)=b(x),(1)oùaetbsont deux fonctions réelles.

SoitAune primitive deaet (x0,y0)∈R2.

Il existe une solution uniqueyde l"équation (1) telle quey(x0)=y0; elle est définie selon∀x∈R,y(x)=y0eA(x0)-A(x)+∫xx0b(t)eA(t)-A(x)dt.(2)3GRANDEURS TABULÉESMatériauLongueur d"ondeλ(nm)indicendndλ(×10-2·µm-1)d2ndλ2(×10-1·µm-2)G(fs2·mm-1)verre type BK74001.5308-13.1710.66120.795001.5214-6.583.9286.876001.5163-3.911.7767.528001.5108-1.970.4843.9610001.5075-1.400.1526.9312001.5049-1.230.0310.43verre type SF104001.7783-52.0259.44673.685001.7432-20.8915.55344.196001.7267-11.006.12233.918001.7112-4.551.58143.3810001.7038-2.620.5699.4212001.6992-1.880.2268.59Saphir4001.7866-17.2013.55153.625001.7743-8.725.10112.986001.7676-5.232.3288.658001.7602-2.680.6458.0010001.7557-1.920.2035.3312001.7522-1.700.0413.40Quartz3001.4878-30.0434.31164.064001.4701-11.709.20104.315001.4623-5.933.4877.046001.4580-3.551.5960.668001.4533-1.800.4440.0010001.4504-1.270.1427.7112001.4481-1.120.039.76TABLE1 - Propriétés de dispersion de quelques matériaux.

Le paramètreGest la dispersion de vitesse degroupe.GazG(fs2·mm-1)Dioxygène (O2)24.76·10-3Diazote (N2)18.70·10-3Air20.05·10-3Hélium (He)0.82·10-3Néon (Ne)2.11·10-3Argon (Ar)17.98·10-3Krypton (Kr)37.32·10-3Xénon (Xe)87.42·10-3Acétylène (C2H2)78.20·10-3Ethylène (C2H4)102.18·10-3Propane (C3H8)111.21·10-3TABLE2 - Dispersion de vitesse de groupeGde quelques gaz àλ=800nm, pour une pression de 1 bar.

4) AuCuAlσ0Conductivité à basse fréquence (×106S·m-1)45.259.637.7nDensité d"électrons libres (×1028m-3)5.98.4718.1κConductivité thermique (W·m-1·K-1)314385205∆hliqEnthalpie de liquéfaction (GJ·m-3)1.221.801.08∆hvapEnthalpie de vaporisation (GJ·m-3)31.742.429.

4) TliqTempérature de liquéfaction (K)13371358933TvapTempérature de vaporisation (K)312928352792CiCapacité calorifique volumique des ions du réseau (×106J·m-3·K-1)2.53.462.43AeCoefficient de capacité calorifique volumique (Ce=AeTe) (J·m-3·K-2)7197135γCoefficient de couplage thermique électrons-réseau (×1016W·m-3·K-1)2.11056.9αCoefficient d"absorption optique àλ=800nm (×107m-1)6.96.35.

9) TABLE3 - Propriétes physiques de métaux usuels.Bande interdite (à 300K)Eg1.424eVMobilité électronique (à 300K)µél9200cm2·V-1·s-1Mobilité des trous (à 300K)µtrou400cm2·V-1·s-1Masse effective des électronsm∗él0.067meCoefficient de réflection à l"interface Air-GaAs (àλ=800nm)R0.318Coefficient d"absorption optique (àλ=800nm)α6000cm-1Durée de vie des porteurs dans SI-GaAsτc∼100nsDurée de vie des porteurs dans LT-GaAsτc∼1psPermittivité relative dans le domaine THzεr13TABLE4 - Propriétes électroniques de GaAs.5400600800100000.511.522.533.5l (nm)n CuAuFeAg3004005006007008009001000012345678l (nm)k CuAuFeAg300400500600700800900100000.10.20.30.40.50.60.70.80.91l (nm)R CuAuFeAgFIGURE1 - Propriétés optiques de quelques métaux.

Parties réelles (n) et imaginaires (κ) de l"indice de diffé-rents métaux dans le domaine optique, et coefficient de réflexion en intensité correspondant.

6) I.Quelques échelles de temps A.Dynamique moléculaire : états vibrationnelsDans cette section, on considère le mouvement relatif de deux atomes d"une molécule diatomique.

On adopteune description phénoménologique du potentiel d"interactionV(⃗r) entre ces deux atomes. Soit⃗rle vecteurposition relative des deux atomes, de masse réduite notéeµ.

Une modélisation courante de la liaison covalenteest constituée par le potentiel dit de Morse selon la loi suivanteV(⃗r)=D(1-e-a(r-re))2,oùDetasont deux constantes réelles positives, etr=∥⃗r∥.Q1.Déterminer la position d"équilibreréqde la liaison.On considère les petits mouvements autour de la position d"équilibre (r=réq+ε,ε≪réq).Q2.Développer le potentielV(⃗r) à l"ordre 2 enε, et montrer que la force résultante est équivalente à un ressortde raideurk, dont on donnera l"expression.

En déduire la fréquence angulaireω0d"oscillation correspondante.Q3.TracerlepotentieldeMorseetlepotentielharmoniqueapprochéenunitédeD.Donneruneinterprétationphysique deD.En mécanique quantique, le confinement d"une particule résulte en une quantification des niveaux énergé-tiques accessibles.

La liaison chimique correspondant au confinement de la particule fictive du problème àdeux corps associé, l"énergie de vibration de la liaison est donc quantifiée.

Dans le cas du potentiel de Morse,les valeurs propres de l"énergie sont associées à un nombre quantique notéνselonEMorseν=ħω0(ν+12)(1-ħω04D(ν+12)),ν∈N,oùω0estlafréquenceangulairecalculéedanslaquestionprécédente.Danslecasd"unoscillateurharmonique,la quantification des énergies de vibration à la pulsationω0s"exprime uniquement par le premier termeEosc. harm.ν=ħω0(ν+12),ν∈N.Le second terme est alors un facteur correctif tenant compte des anharmonicités du potentiel.On note∆ν=Eν+1-Eν, l"écart énergétique entre deux niveaux énergétiques vibrationnels successifs, etEν1→ν2l"énergie associée à la transition d"un niveauν1vers un niveauν2.Q4.ExpliciterEν1→ν2pour le potentiel de Morse et en déduire∆νdans le cas d"un potentiel harmonique, etdans le cas d"un potentiel de Morse.

Commenter le comportement de l"écart énergétique avecνdans les deuxcas.Les techniques de spectroscopie moderne permettent d"accéder aux fréquences des transitions entre les diffé-rents niveaux énergétiques.Q5.Exprimer,sans approximation,Detħω0en fonction deE0→1etE0→2.En spectroscopie, on exprime usuellement les valeurs des transitions ennombre d"ondeσ=1λ, oùλest lalongueur d"onde associée.

On noteσν1→ν2le nombre d"onde associé à la transition d"un niveauν1vers unniveauν2.

Pour la molécule HCl, on mesureσ0→1=2870cm-1, etσ0→2=5638cm-1.Q6.Rappeler la relation entre la longueur d"ondeλet l"énergieEd"une transition donnée.

Calculer les valeursλ0→1etλ0→2associées à respectivementE0→1etE0→2.Q7.CalculerDetf0=ω0/2πdans le cas de la molécule de HCl.

En déduire les ordres de grandeurs typiquesd"énergie et de temps mis en jeu dans les mouvements de vibrations atomiques au sein d"une molécule.

7) FIGURE2 - Exemple de protéine consistuée de feuilletsβen conformation baril : la concanavaline A (représen-tation schématique)z=z0z0=zz=z0z0=zOOOFIGURE3 - a) Structure schématique de deux feuilletsβ, liés parλ=4 liaisons hydrogènes. b) Modélisationmécanique équivalente.B.Dynamique supramoléculaire : structure quaternaire d"une protéineUne protéine est une macromolécule composée d"un assemblage d"acides aminés en chaîne, liés les uns auxautres par une liaison covalente dite peptidique.

Lorsque la chaîne peptidique est suffisamment longue, lesinteractions internes à la molécule par liaisons hydrogènes donnent une conformation tridimensionnelle à lachaînequel"onappellestructureternaire.Lesstructureslocaleslespluscourantessontdesstructuresenformed"hélice (appeléeshélices-α) et des structures en feuillets (appeléesfeuillets-β).

Ces structures en hélices et enfeuillets interagissent entre elles, toujours par liaisons hydrogènes, pour donner la structure tridimensionnellefinale à la protéine, appelée structure quaternaire.La structure quaternaire d"une protéine joue un rôle fondamental dans sa fonctionnalité biologique, et doncles interactions entre feuilletsβet hélicesαsont de première importance.

Dans cette section, nous nous pro-posons d"étudier dans le cadre d"un modèle simple la dynamique de vibration d"une protéine afin d"en exhiberles échelles de temps et les énergies caractéristiques.On considère une classe de protéines formées uniquement de feuilletsβ, en conformation "baril" : elle estformée deµfeuilletsβrépartis sur un cercle de rayon constant (voir Fig. 4.a)).

Entre deux feuillets (supposésidentiques, de massemβ), on noteλle nombre de liaisons hydrogènes (λ∈N∗).

On modélise chaque liaison8z=0Oz0z=zFIGURE4 - a) Exemple de protéine en conformation baril à 6 feuilletsβ. b) Modélisation mécanique équiva-lente.hydrogène par un ressort de raideurk(voir Fig. 3).

On néglige la dynamique selon⃗uz, et on assimile ainsichaquefeuilletàunpointmatérielponctueldemassemβ,sedéplaçantdansleplanOxy.ChaquefeuilletestliéélastiquementàsesdeuxplusprochesvoisinsparunressortderaideurK=λk(voirFig.4.b)).Lesfeuilletssontéquirépartis sur un cercle de centreO.

On associe l"indicejà toutes les grandeurs physiques dujièmefeuillet,ainsi qu"une base orthonormée