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MéthodologiedesmathématiquesL1 - Univ ers itéParis-EstMarne-la-Vallée2015-2016 MagdalenaKOBYLANSKIMiguelMARTINEZ2Organisationdutravailetcontrôledesconnai ssancesApprentissageducoursCommentapprendrelecou rs?1.Relire:relirerapidementlec oursdanssestroisversions:lesnot esmanu scritesprise senamphi,lavers ionimpriméeducourspr ojeté,lepolycopié.2.Synthèse:êtrecapablede direquellessontl esnotion sabordéesenco ursen30secondeschrono.3.Repérage:quelssontlesdéfi nitions,le spropositi onsetthéorèmes.4.Comprendre:quelssontlesenje uxdesnoti ons,théorèm esetpropositionsabordé s.Pouvoiren parlerenmoinsde2 minute sentermesnon techni que s.Toutlien,touteidéede lienmê mefarfelueestbi envenue.5.Apprendre:savoirparcoeurle sdéfini tions,àlavirgule près.Ici, pasdeplacepourl'àpeuprès.6.Relireencore:maintenantonrentredanslatech ni queetonestprêtpourla relectur efouill éedesdémons trations 7.Repérerencore:repérerlastructuredel adémon stration,lesnotionsetlesproposit ionsuti lisées ,lesidéesp rincipales,last ructurelogique,etunefoisencorefairede sliens :pourquoicettestructuredepreu ve,est-cequ'ellefaitp enseràunepreuve,oùs ontlesdi!cultéstechniques. 8.Apprendreencore:refairelesdémonstrat ionsunstyl oàlamain.Imaginezquec'estvousleprofesseuretquevousêtesentrai nd'exp liquerla démonstrati on.SéancesdeTDCommentpréparerlasé ancedeTravauxDirigés?1.Apprendrelecours.ChaquechargédeTDe stlibredevous inter rogeràtou tmoment,àl 'oraloupar écrit, surlecours.Cesinte rrogationspeu ventêt renotéesetcette notepeutre ntrerdanslecontr ôlecontinu.Lesdéfinit ionsindiquéesdoiventen particu lierêtreconnuessurleboutdesdoigts.2.ExercicesWims.Desexerci cesinteractifssimplessontprop oséesetsivousn'avezpasréussiàfaireceuxquis ontdemandés,l echargédeTD aledroitde nepasvousaccepter.3.Exercicesdupolycopié.Certainsexercicesdupol ycopiédoiventêtrepréparésetré digésà l'écrit.Lesexer cices!sontdesexe rcicesfaci les,quipeuventêtrefaitsansaid e.Lesexer cices"sontàtrait erob ligatoirementenTD.34ExercicesWimsPourchaque chapitreducours,d esexercicesWimsvousson tproposé ssurlaplate-form ed'enseign e-mentenligne.I lssontr épartisen3niveau xdedi!culté.-Ceuxdeniveaubasiquesontdesexe rcicesd'ap plicationdirecteducours.Vousdevezl esfairejusteaprèslecour senamphi,etav antleTD associé.Ilsvousaide rontàappren drecertainsconceptsdebaseducours.-Ceuxdeniveauintermédiairedemandentplusdesavoir-fair eetderéflexion etnéce ssitentsouventdepren dreunpapieretuncrayon.

Ilssont associésàdesexe rcices delafe uilledeTDmarquésW.Cesexerc icessontàfaireaprèsavoirvulese xercicesc orre spondantsenTD .Celavousperm ettradevéri fierquevouslesavezbien assimilés.

ContrôledesconnaissancesLesconn aissancessontcontrôléeslorsdespartie lsdulundi matin.Leprogrammedescontrôlese stcommuniquélasemainequiprécèd e.Ils portentàlafoissurles cours,les TDetlesexercicesWims. - Touteslesdéfinit ions,lespr opositions,ettouslesthéorèmessontàc onnaître. - Lesdémon strationsdesénoncés"sontégaleme ntexigibles.Paraille urschaquechargédeTDestl ibred'organiserdes interrogationsé crites .Chapitre1Ensembles"Personnenepourranouscha sserdu paradisqueCantoracré épournous."Hilbert-1925Lelan gageensembli steestdepuisCantorceluiutiliséparle smathémati ciens.Aujourd'hui, toutelathéoriemathématiquee stconstruiteàpartirdelathéoriede sensemble s.Cesderniersconstituentdonc la notionpremière desmathématiques:touslesaut resobjetsm athématiquessontdéfinis(oupeuventl'ê tre )àpar tirdesensembles ,dequelq uesaxiomes,etdesrèglesdelalogique.

Nousutil isonslathéoriena´'ivedese nsembles.1.

1) Définitio nsEnsembleUnen sembleestunecollectiond'ob jetstousdé finisettous distinctsquipeuventêtre desobjetsbienréels(p arexemplelesétud iantsdece tamphi)oudesobjetsabstrai ts(commede snombres,desfonctions ).Engénéral,onnotelesensemble savecu nemajusculeA,B, Lesobjet sconstituantsunen semblesontappelésleséléments,onl es noteengénér alàl'aided' uneminusculea,x etonécr it:"a!A"pou rdireque" aestun élémentde l'ensembleA".Une nsemblequinecontientqu'un élément, disonsa,estlesingleton{a}.C' estunobjetmathé- matiquequiestdi"érentdel'élémen ta.Descriptiond'unensemble-Afindedé crire unensembleonutilisedes accolade s.Parexemple{1,2}selit"l 'ensembl edontlesélémentssont1et2".C' estlemêmeensem bleque {2,1},oue nc orequel'ensemble{1,1,2}. - Lesensemblespeuventêtredécritsenexten sion.Dan scecasentr elesacc oladeson énumèretouslesélé ments.C' estpossiblequandlesélémentsd el'ensembleneson tpastropnombreux.Parexempleonconsidère:A={0,2,4,6}. - Ilspeuve ntêtredécritsaussiencompr éhension.Ap rèsl'accolade,on sedonneunevariablequivadécr irelesélémentsdel'en semble,pu isonindiquelespropriétésd ecette variable.L'ensembleAprécédentpeutainsis'écrire{n,nestunenti erpaire tn"6}. - Enfin,lesensemb lespeuven têtrereprésentéssousformeparamétrique.E nnotantI={0,1,2,3},onp eutainsiécrir eA={2n,n!I}.Pl usgénéralement ,siIestunens emblee tsipourtouti!I,aiestun élémentd'u nensembleE,alor sl'ensem bleA={ai,i!I}estunsous- ensemb ledeEparamétréparl'ensembleI.Question1.1.Combiend'élémentsp ossèdeunensembleA={ai,i!I}paramétréparI={1,2,3,4,5}?Unen semblepeut-iltoujoursêtre paramétré?56CHAPITRE1.ENSEMBLESVariablededescription -Notonsquel'e nsemble{n!N,n"5}estl emêmequel 'ensem ble{m!N,m"5}.On ditque lavariableq uidécrit l'ense mbleestliéeoumuette.En informat iquecettenotioncorresp ondàlanotionde variablelocale.Sinononparlede vari ablelib reouparlanteet eninformatiquedevariableglobale.Pouréviter touteconfusion,ilconv iendraitdech oisirpourchaquevariable,même muette ,unelettreouun symbole di"érent.Enpratique,onn erespe ctepastoujourscetterègle,car le ssymbol esdontondisposenesontpasbienn ombreu x.Lesens emblesdenombressontNl'ensembledesentiersnaturels,Zl'ensembledesentiersrelatifs,Ql'ensembledesrationnels,Rl'ensembledesréels,Cl'ensembledescomplexes.L'ensem bledesnomb respairsestnoté2N,il estdéfi nidemaniè reparamétriquepar{2k,k!N}.Pl usgénéralemen t,l'ensembledesmultiplesdel'entierns'écritnN={nk,k!N}:dan scetteécr iture,lavariable kestliée, etlavariablenestlibre .L'ensembledesentie rsimpairsnedisposepasdenotationp articuliè re,onmontrequ'ilpeutêt reparamétrécomme{2n+1,n!N}.L'ensemblevide-Sioncons idè rel'ensembleA={n!2N,n>2,npremier},ons 'ap erçoitqueAnecont ientaucunélément.Ondit queAestl'ens emblevide,quel'onnote#.Partied'unensem ble,inclusi on-SoitAetBdeuxensembl es.OnditqueBestunepartie ouunsous-ensembledeAsietse uleme ntsitouslesélémentsdeBsontdesél émentsdeA.On notealors B$Aetondit auss iBestinclu sdansA.Parconve ntion#$A,pou rtoutensem bleA.Exemple1.1.Montrerl'inclusions uivante:6N$3N.L'ensembledespartiesd'unensemb le-SoitEunense mble.L'ensembledespartiesd'u nensemblenotécanoniqu ementP(E)estl'ens embleconstituépartouslessous-ense mblesdeE.Ce ttenotationestcommunémentadmise.Onpeut considérerune partieRdeP(E).C' estaussiunensemb led'ensembl es.Lesé lémentsdeRsontdoncde spartiesde E.O ndésign esouventcegenred'en semblesavecdesmaju scule scursives.1.

2) Lesopé rationssurl esensemblesEgalitéd'ensemble s-Deuxense mblesAetBsontégaux,e tonnoteA=Bsietse ulemen tsichaqueélémentdeAestaussid ansBetchaqu eélémentdeBestdansA.AutrementditsietseulementsiA$BetB$A.Exemple1.2.Montrerque{2p+4q,p!N,q!N}=2N.L'union%-L'unionA%B,dedeuxensemblesAetB,estl'ensembleA%B={x,x !Aoux!B}.NotaBene:le"ou"du mathémat iciene stle"ou"inclusif.Ainsix!A%Bsignifiequexestsoitun iquementdansA,soi tuniqueme ntdansB,soi tencoredan slesdeuxàlafois.

L'unionestassociative:pou rtousensem blesA,B,C,ona(A%B)%C=A%(B%C)etcommutative:pourtousens emblesA,BonaA%B=B%A.SoitRunense mbledepartiesdeE.Lar éun iondespartiesdeRnotée!A!RAestl' ensembledesélémentsxappartenantàaumoinsl'undesAdansR.Autrementdit"A!RA={x,ile xisteA!Rvérifiantx!A}.LorsqueRestdonnécom meunensemble indexéparune nsembl eI,R={Ai,i!I},l' unionci-dessuss'écrit"i!IAi={x,ile xisteunindicei!Ivérifiantx!Ai}.1.2.LESOP ÉRATIO NSSURLESENSEMBLES7Remarque1.1.Lavariableiestlié eparl'opé rateur%,ond itau ssiqu'ell eestmuette:le faitder emplaceriparjnechan gerien:%i!IAi=%j!IAj.L'intersection&-L'intersectionA&Bdedeux ensembles AetBestl' ensembleA&B={x,x !Aetx!B}.L'intersectionestassociative:pourtousA,B,C,(A&B)&C=A&(B&C)etcommu tative:pourtousA,B,A&B=B&A.SiRunense mbledepartiesdeE.On note#A!RAetl'e nsembledesélémentsquisontdanstou slesA!Ràla fois:$A!RA={x,pourtoutA!R,x!A}.SiR={Ai,i!I}estunens embled epartiesindicéesparl'ense mbleI,l 'intersectionprécédentes'écritalors$i!IAi={x,pourtouti!I,x!Ai}.Remarque1.2.Anou veau,toutcommepourl'u nion,lavariableiestlié eparl'opé rateur&.Lef aitd eremplaceriparjnechange rien:&i!IAi=&j!IAj.Exemple1.3.Montrerque{2n,n!N}&{2m+1,m!N}=#.Montrerque6N&4N=12N.Di!érenced'ensembles ,complémentaire-Ladi "érenceA\Bdedeu xensembles(qui selitAmoinsB)estl'ensembleA\B={x,x!Aetx/!B}.LorsqueAestunepar tiedeX,l'ensembleX\As'appellelecomplémentairedeAdansX.Ilestaussinoté#XA.S' iln'yapasd'am bigu´'itésu rl'ensembleX,le complé mentairedeAestassinot é#AouAc.(O néviteral anotationAréservée,engénéral,àuneautren otionmath ématique).Proposition1.1.SoitXunensembl eetAetBdespart iesdeX.a.(Ac)c=A,b.(A%B)c=Ac&Bc,c.(A&B)c=Ac%Bc.Exemple1.4.Montrerquel'ensemb leIdesnombres impairs,définicommel ecomplémentairedansNdesentie rspairsc'est-à-direI:=(2N)c=N\2Nestégalàl'e nsembl e{2n+1,n!N}.Di!érencesymétrique!-Ladi "érencesymétriqueA!Bdedeuxe nsem blesAetBestl' ensembleA!B=(A\B)%(B\A)=(A%B)\(A&B).Il corresp ondau"ou"exclusif.Ladi "érencesymétriquees tassociative:pourtousA,B,C,(A!B)!C=A!(B!C)etcomm utative:pourtousA,B,A!B=B!A.Recouvrementd'unensemble-SoitXunens emble.Onditqu'unensembleRdeparti esdeXestunrec ouvrementdeXsiX=!A!RA.Partitiond'unensemble- SoitXunense mblenonvide.UnrecouvrementRdeXestun epartitions'ilestconsti tuesdepart iesnonvidesdeXdeuxàdeuxd isj ointes(siAetBsontdansRavecA'=B,alorsA&B=#).Leprod uitcartésien(-SoientAetBdeuxensembl esnonvides.Leproduitcartésien deAetd eBestl 'ensembleA(B={(a,b),a!A,b!B}.Unél ément(a,b)deA(Bestappelé couple.L'ordredesc oordonnéesdanscecoupl eestfondamental!Onnote A2leprod uitcartésienA(A.Par exemp leonutilisesouventlanotat ion R2pourl'ens embleR(R.Question:Ecrireenextensionl 'ensem ble{1,2}({0,1}.Plusgénéralem entsoientn!NetA1, ,Andesensemb lesnonvides,leproduitcartési endeA1, ,Anestl' ensembleA1(···(An={(a1, ,an),a1!A1, ,an!An}.Uné lém ent(a1, ,an)estappelé n-uplet.

8) CHAPITRE1.ENSEMBLESLepr oduitcartésienaétéinv entéparRenéDescartes(1596-1650), alors qu'ilavait 25ans.Illerapportedanssesmémoire s."Le10n ovembre16 19remplid'enthou siasmejetrou vailefondementd'u nescienceadmirable "-R ené Descartes,Olympiques,fr agmentsIlracon tealorscommentils' enfermed anssonpoêleetconçoitsa métho de.Lalégenderaconteque,alité,il regardeleplafondaupl âtrefiss uréetimagineunsy stèmed ecoordonnées,per met tantdedécr irelignes,courbesetfigur esgéométriquespardesc ouplesdenombresarith métiqu es,dontilnere stequ' àanalyserlespropr iétés.1.

3) Exercice sExercice1.1.!Onconsi dèrelessous-ensemblesdeNsuivants:A={n!N",n"7},B={n!N,n/!2N,n"7},C={n!2N",n"7},D={n!3N",n"7}.1.Ecrirecesensemble senextens ion.2.DéterminerB&D,C&D.3.DéterminerB%C,C%D.Une desce sréunionse st-elledi sjointe?4.DéterminerC!D.5.Déterminer#AB,#ACet#AD.Exercice1.2.Lesnotati ons!,{!}désignent-elleslemêmeensemble?Danschaquecas, précis ersi!estunélé mentouu nepartiedel'ensemblec onsi déré.Exercice1.3.SoitQl'ensembledesquadrilatèresdupl an.Onconsid èrelessous-ensemblessuivants:Al'ensembledesquadrilatèresayant unangledroit Pl'ensembledesparallélogrammesLl'ensembledeslosangesTl'ensembledestrapèzesRl'ensembledesrectanglesCl'ensembledescarrés.1.Quellessontlesrelations d'inclusi onexistant entrecesensembles.2.DéterminerA&L,A&P,L&R.Exercice1.4.!Onconsi dèrelesensemblessuivants :A={1,2,5},B={{1,2},5},C={{1,2,5}},D={!,1,2,5},E={5,1,2},F={{1,2},{5}},G={{1,2},{5},5},H={5,{1},{2}}.1.Quellessontlesrelationsd 'égalitéoud 'inclusion existantentrecesensem bles?2.Donnerlenombred'é lément sdechacundecese nsembles.3.DéterminerA&B,G%H,E\G.4.Quelestlecomp lémentaire deAdansD?Exercice1.5.WDescriptiond'ensemblesaveclesopér ationsensemblistes.SoientEunens embleetA,BetCtroissous-ens emblesdeE.Ex primerlesensemblessuivan tsenutil isantlesopérati onsensemblistes.1.L'ensembledesélémentsdeEqui appartienne ntàAouà Betqui n'appartien nentpasàC.2.L'ensembledesélémentsdeEqui n'appartien nentniàAniàBetquiap partienne ntàC.Exercice1.6.SoitAetBdeuxsous-ens emblesde".Mon trerqueAetBsontdisjoin tssietseulementsiAc%Bc=".Exercice1.7."SoitA,BetCtroissous-ens emblesde".Mon trerlesformulessui vantes:1.A&(B%C)=(A&B)%(A&C),2.A%(B&C)=(A%B)&(A%C),1.3.EXERC ICES93.(A%B)\C=(A\C)%(B\C),4.(A&B)\C=(A\C)&(B\C)=(A\C)&B=(B\C)&A,Exercice1.8.SoitA,B,Cdeuxsous-ens emblesde".Ju stifierlesformulessuivante sàl'aidede dessins,proposerdesétapesdedé monstration :1.A!B=B!A,Ac!Bc=A!B,2.(A!B)!C=A!(B!C),3.(A!B)c=Ac!B=A!Bc,4.DéterminerA!Ac,etA!".Exercice1.9.SoitAetBdeuxsous-ens emblesde".1.Exprimerlesense mblesA&B,A%B,A\B,e nutili santuniquementl'intersec tionetlecomplé-mentaire.2.Mêmeproblèmee nutilisantuniquementl aréuni onetlecomplémentaire.3.Mêmeproblèmee nutilisantuniquementl adi"érenceetlecompléme ntaire.

Exercice1.10.Donnerlesélémen tsdeP({0,1,2}),deP(P({1})).Exercice1.11.SoitAetBdeuxsous-ense mblesde",telsqueA'$B,B'$A,A%B'=",A&B'=!.Ecrireunepartitiond e"forméedequatreélé mentsc onstruitsàpartir deAetBetdesop érationsélémentairessurlesensembles.Exercice1.12.!Trouvertouteslespart itionsde{1,2,3}.Exercice1.13.!Représentergraphiquementetécrireen extensionlesensembles{0,2}({1,2,3},{0,2}({1,2,3}\{1,2,3}({0,2}et({0,2}({1,2,3})!({1,2,3}({0,2}).Exercice1.14.WReprésentationgraphiqued'ensemblesdecoup lesd'entiers.Représentergraphiquementlesensembl essuivants.1.E={(i,j)!N2,1"i"12,1"j"10,)4