Quelles sont les méthodes de mathématiques ?
Deux grandes méthodes.
Pour apprendre les mathématiques, deux grandes méthodes traditionnelles sont généralement suggérées : la méthode Assimil et la méthode Berlitz.
Même en vacances, on peut faire des maths : dessinez la montagne sous forme d'un graphique et étudiez son sens de variationQuelle est la meilleure méthode pour etudier les maths ?
Si vous n'êtes pas un grand matheux ou une grande matheuse, le meilleur moyen d'apprendre facilement les maths est de recourir à un moyen mnémotechnique ou ludique pour retenir l'information : pour cela, il faut avoir envie d'apprendre.
Bloquer dès le début n'est pas favorable à un apprentissage facilité.Qu'est-ce qu'un ingénieur mathématicien ?
À l'inverse du mathématicien qui reste dans la théorie, l'ingénieur mathématicien s'attache à trouver la solution d'un problème concret.
Sa première mission consiste à bien comprendre le problème qui se pose afin d'en dégager une problématique et des questions précises.La recherche
Actuariat et mathématiques financières.Algèbre et théorie des nombres.Analyse et probabilités.Mathématiques appliquées.Géométrie et topologie.Physique mathématique.Statistique.
COURS DANALYSE NUMERIQUE
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Méthodes numériques pour loptimisation non linéaire déterministe
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MéthodesMathématiquesp ourl'IngénieurPolytechMontpellierSTE32018-2019CaroleDELENNE-Same rMAJDALANITabledesmatiè resIAnalyse71D i!érentielles/dérivéesàl'ordr endefon ctionsd'unevariable92Mét hodesnumériquesderech erchederacine113Di !érentiellesdevecteurs154Dér ivéespartiellesetdéri véetotale175Op érateursdi!érentiels196Rec herched'optimum-Régres sion217Int égration/Equationsdi!érentiellesordinaires238Mét hodesnumériquesd'int égration27IIAl gèbrelinéaire319Op érationsmatriciellesdebase-réso lutiondesystèmes3310Inter polation3711Appl icationdel'algèbrelinéaireàlagéom étrie39 12Matr iceJacobienneetrésolut iond'unsystèmenonlinéaire 413BibliographieNousvousc onseillonsdecon sulterlesouvragessuivantsqui sontdisp oniblesausecr étariatSTE.Lelivre[1],contientdan sleschap itres1 à4,desprérequis indispensablesàlamatière.Pourréviserlesnotionsd epro duits scalaireetvectorie l,vouspouvez vousréférerauli vre[3].Pour desapplicationssimple sàlap hysique,voirparexe mplelesli vres[4]et[5].Pourtou teslesnot ionsvuesaulycée,t estezvosconnaissancesgrâce auxdi!érentssitesdisponibles surinternet:[6, 7,8].[1]GéométrieAnalytique,cours etproblèmes,série Schaum,J.H.
Kindle.[2]Matrices,coursetproblèmes,sér ieSchaum,F.Ay resJ R.[3]Mathématiques1ereSetE,Géométriestat istiques,J.B oudo t,J .L.
Audirac,Magnard.[4]PhysiqueTermSobligatoir e,édition2007,c ollectionESPACE,Bordas.[5]PhysiqueTermSobligat oire,nouvelle édition,collectionParisi,Belin.[6]http://xm 1math.net,Mathématiquesniveaulycée-logiciels libres,P.Brachet.[7]http://exo 7.emath.fr/un.html[8]http://wims .unice.fr/wims/5PremièrepartieAnalyse7Fiche1Di!érentielles/dérivées àl'o rdrendefonct ionsd'unevariable1.
1) Rappelsde coursDi!érentielleLadi !érentielleenx0d'unefonctio nfdépendantd'uneseulevar iablexestdonnéepar :df(x0)=dfdx(x0)dx=f!(x0)dx(1.1)DéveloppementsensériedeTaylorUnefonc tionf(x)infinimentdérivableauvoisinaged ex0admetundéveloppementensérieenx0,donnépar:f(x0+dx)=f(x0)+"!n=11n!f(n)(x0)(dx)noùf(n)(x0)estl adérivéed' ordrendela fonction fenx0.Onparlededéveloppementlimitéàl'ordreNlorsquel'onn'e xprimequelesN+1premierstermesdelasérie, lestermesd'ordr esupér ieurs étantregro upéssou slaformed'unefonctio no((dx)N)quitend verszéroplus viteque(dx)N.1.
2) Exercic esdeTDExercice1.1) Estimationdelavaleurdee.Lafon ctionexponentiellees tdéfiniecommelafonctionégaleàsadé rivéeetquipas separ1enzéro:f!(x)=f(x)etf(0)=1.Al'aided'undéveloppementlimitédelafonctionexponentielleauvoisinagedex=0,estimerlavaleurdef(1)=e.Exercice1.
2) ThéorèmedupointfixeDémontrerlethéorèmesu ivant :Théorème:Soitfunefonct iondérivabledefonctio ndérivéef!continuesurunintervalle Icontenantunpointfixexsoldef(c'est-à-diref(xsol)=xsol)ettelleque"""f!(x)"""<1!x"I,alorslasuite(xn)définieparxn+1=f(xn)convergeversxsoldèsque x0estc hoisidansI.Indice:définirl' err eurenàchaqueétapeetréaliserundéveloppementlimitéàl'ordre1def(xn+en).Exercice1.
3) MéthodedeNewtonSoitunefonction f(x)dontoncherc helaraci nexsolvérifiantf(xsol)=01.Soitunpoin tx0;donnerl'équationdelatangenteT(x)àf(x)enx0.2.Calculerl'intersection x1del adroite T(x)avecl'ax edesabscissesen fonction dex0.3.Montrerquelasuite(xn)définieparla question 2peutconv ergerverslasolutionxsoldef(x)=0etdonnerlacondi tiondeco nvergence(utiliserledévelopp ementen sérieàl'ordre2def(xn+1)).1.
3) Exerci cesd'entraînementExercice1.4) EquationsdedroiteLanotion dedroited oitabsolumen têtremaitrisée ,sicen 'estpaslecas,voirparexemple lechapitre3 dulivre[1].C onc ernantlatangente,voirlechapitre10dumêmeou vrage.Dé terminerl'équationdeladroite:1.passantparA(#2;1)etB(3;#1).(Rep.y=!2x/5+1/5)92.depen te2/3passantparl epointA(#4,5).(Rep.3y=2x+23)3.passantparlesdeuxpo intsA(3,#1)etB(0,6).(Rep.y=!7/3x!6)4.équidistantedesdroitesx+5=0etx#2=0.(Rep.2x+3=0)5.passantparA(#3;#2)etper pendiculaireày=2x#1.(Rep.2y=!x!7)6.passantparA(2,#1)etper pendiculaireàladroitepassantparC(4,3)etD(#2,5).(Rep.y=3x+5)Exercice1.
5) Inclinaisonetpented'unedroiteTrouverlapenteaetl' angled'inclinaison!desdro itespassantparlesdeuxpo intssuivants( faireunsc héma):1.A(#8,#4)etB(5,9).(Rep.a=1,!=45°)2.A(10,#3)etB(14,#7).(Rep.a=!1,!=135°)3.A(#11,4)etB(#11,10).(Rep.a=",!=90°)4.A(8,6)etB(14,6).(Rep.a=0,!=0°)Exercice1.
6) Développementslimités1.Retrouverledéveloppemen tlimitéen zéroàl'ordrendela fonction sin(x).Surunlogicieldegraphique(telqueQuic kGraph, gratuitsurl'ipad),trac erlafonctionsin(x)etsesdév elopp ementslimitéssuccessifsjusqu'àn=7.2.Mêmeq uestionpourd'autresfoncti onsclassiquest ellesquecosinus,exponent ielle,logarithme.3.Mêmeq uestionpourlafonctionp olynomiale: P(x)=3x5+6x3#x2+10x#20;commenter.Exercice1.
7) Equationdelatangente1.Déterminerl'équationdelatangente àf(x)enx0.2.Enq uelpoint latangentecoupe-t-ell el'axe desabscisses?Fiche2Méthodesnumériquesdereche rchederacine 2.
1) Rappelsde coursPrincipedebase:avoirune idéede lasolut ion (e.g.onn echerche pasunehauteurd'eaunégative!) Méthodededichotomie Onch erchelasolutiondef(x)=0dansunint erva lle[a,b]telquef(a)f(b)<0(l'intervallecontientune racine).Onposec=(a+b)/2.Sif(a)f(c)<0alorscdevientbsinon,cdevienta.Onitèrejusqu'àcequef(c)soitproche dezéro.MéthodedupointfixeOnch ercheàrésoudrel'équationf(x)=x.Onchoisiunpointdedépartx0etoncal culex1=f(x0)jusqu'àceque xi$xi+1(NB:l ac onvergenc en'estpasgarantiecf.exercice1.2).MéthodedeNewtonSouscertai nesconditions(cf.exercice1.3)lasuitesui vanteconv ergevers lasolutiondef(x)=0:xn+1=xn#f(xn)f!(xn)(2.1)2.
2) Exercic esdeTDExercice2.1) Interprétationgraphiquedesméthodesder echerchederacineOnch erchelasolutiondel'équationf(x)=0.Représentergraphiquement(sanscalcul)lesétapesdesméthodesdedich otomie,Newtonetpointfixe,pourlesfo nctionssuivant es: - f1(x)=e#x#x.11 - f2(x)=ln(x+1) #x+1=0(racinepositive). - f3(x)=x3#x#1=0.Exercice2.
2) Calculdelaperte dechar gelinéa iredansunecondu ite.Lape rtedechargelin éairelelongd 'uneconduitecircu lairedediamètreDpeuts'écri re:j="V2/2gD,oùVestla vitessedel 'écoulementet"estuncoe "cientquipeutêt reestimép arlaformuled eColebrook(1 939):1%"=#2log#k3.
7) D+2.51Re%"$(2.2)aveckleco e"cientderugositéet Relenom bredeReynolds:Re=VD/ #où#estla viscositéci nématique.Résoudrel'équation2.2parl améthodequ ivou sparaîtlap lusadaptéeet endéduirej,avecD=250mm;k=1,5mm;Q=0,015m3/s;#=1·10#6m2/s.Exercice2.
3) Calculdelahauteur critiqu edans uncanalSoituncanalt rap ézoïdaldelargeur àlabaseB0=2m,dep ente deberge1/1ettransitant undébitQ=10m 3/s.Lahau teurcritiquehcestdéfinie telleq uelenombredeFroudeestégal à1,soit:Q2BgS3=1oùBestla largeuraumir oiretSlasu rfacemouillée.Ecrirel'équatio nvérifiéeparhcetlar ésoudr eparlaméthodedeNewton.2.
3) Exercic esd'entraînementExercice2.4) Comparaisondesméthodesderechercheder acine.Onch erchelasolutiondel'équationf(x)=0avecf(x)=e#x#x.Sachantquelasolutionappartientàl'intervalle[0;1],résoudre leproblèmep arlesméthodesdedich otomie,p ointfixe,Newtonetcomp arezlarapiditédeconve rgence.Exercice2.
5) Calculerl'intersectio nentrelesfonctionsfetgsuivantes:1.f(x)=x2+3x+5;g(x)=x3+6x#32.f(x)=3x2+5x#20;g(x)=2|x|+6x#3(trouverles2solutions )3.f(x)=2|x|x+1;g(x)=3x+5Rep: 1)xsol#[1,8;1,81];2)x1#[!2,56;!2,55]x2#[2,93;2,94];3)xsol#[2,35;2,36]Exercice2.
6) Equationdelacharge Enhy drauliqueàsurfacelibre,dansuncanaldesectio nrect angulaire,l 'équationdelacha rgepeuts' écri re:H=y+z+Q22g(yb)2(2.3)oùyestl ahauteurd'eau,zlacote dufonde tblalargeu rducanal.Dans uncanald ontlacotedufon detlalargeu rpeuventv arier,onsouhaiteconnaîtrelahauteurd'eau enunpointAinaccessible.One!ectuedoncdesmesures enunpoin tB,accessible,quipermettentdeconnaîtrelachargeHBencep oin t.Ensupposantlerégimepermanen tetquelapertedechargeentrelesp ointsAetBpeutêtren égligée,endé duirelahauteurd'eauyAenA,àl'aidedestroisméthodesitérativesvuesdanscechapitre.Laquelledecesméthodesvousparaîtlaplu sappropriéedan scecas?Valeursnumériques:HB=0,8m,zA=0m,Q=0,5m3/s,b=1m.Exercice2.
7) Estimationde%2.1.Enuti lisantuneméthodederecherchederacine, retr ouveruneestimati on à4chi!resaprèsl avirgulede%2(solutiondel'équationx2#2=0).2.Donnerl'expressiondu développementlimitéde%x0+dxetendédui reune estimationde%2à4chi!resaprèslavirgule.Fiche3Di!érentiellesdevecteu rs3.
1) Rappelsde coursDéfinitionLad éfinitiondeladérivéepeu ts'applique ràu nvecteur$v(t)dépendantd'unevari ablet:d$v(t)dt=lim!t$0$v(t+!t)#$v(t)!tLadé rivéed'unvecteures tunvecteur.
Interprétationgraphique:soitunpoin tMde l'espace,décrivantunetra jectoi reM( t)(etdoncunecourbeparamétrique) ,ladérivéeduvecteur$OM(t)estle vecteurtangen tàlacourbe.Dérivéeparrappor tautempsdes systèmesdecoordonnéesCoordonnéescartésiennes:d$exdt=d$eydt=d$ezdt=$0(3.1)Coordonnéescylindriques/polair es:d$erdt=+d!dt$e!d$e!dt=#d!dt$er(3.2)d$ezdt=$0VitesseetaccélérationLeve cteurvitesseestladérivée duvecteurpositionp arrapportautemps etleve cteuraccélérationestladérivée duvecteurvitessepar rapportautemps(voir l'aid emémoirepourlesexpressionsencoordonnéescart ésienneset cylindriques):$v=d$OMdt(3.3)$a=d$vdt=d2$OMdt2(3.4)3.
2) Exercic esdeTDExercice3.1) Unpoin tMestrepé rédan sleplanparses coordonnéescartés iennes(x,y).1.Donnerl'expressiondu vecteurposition$OMselonlesvect eursunitair es$exet$ey.2.Lep ointMestsoumis àun déplacementin finitésimal$dM.Donner(a)l'expressiondudéplacementet desan orme(b)l'aireb alayéeparlesegment[OM]durantledéplacementi nfinitésimal (c)lesexpre ssionsdelavitesseetdel'accélérationdupoint M3.Mêmesquest ionsencoordonnéespolai res,p ourlesquelleslesvecteursunit aires($er,$e!)varientlorsquelepointsedéplac e.15Exercice3.
2) Unpoin tMdécritunetra jec toiredansleplan.Il estrepéré encoordonnéespolairespar$OM=r$eravec:r=r0cos(2!),0&!&2%oùr0estuneconst ante. 1.Déterminerlevecteurtangen tàla courbeauxpointsremarquables(!=k%/4,k"N).En déduire laformedelacourb e.2.Déterminerl'airedélimitéeparce ttecou rbe.3.
3) Exerci cesd'entraîneme