PhilippeCarmonaNOTES DU COURSPROCESSUS STOCHASTIQUESLaboratoire Jean Leray, UMR 6629, Universite de Nantes, 92208, F-44322, Nantes cedex 03,e-mail: philippe.carmona@math.univ-nantes.frPhilippeCarmonaLaboratoire Jean Leray, UMR 6629, Universite de Nantes, 92208, F-44322, Nantes cedex 03,e-mail: philippe.carmona@math.univ-nantes.frNOTES DU COURSPROCESSUS STOCHASTIQUESPhilippeCarmonaResume. |Ces notes sont un support pour le cours d'introduction auxprocessus stochastiques, de l'option mathematique de l'ECN Nantes.
Nousconseillons la lecture d'ouvrages plus consequents:{\Theoremes limites et processus de Poisson", Gregory Miermont,http://perso.ens-lyon.fr/gregory.miermont/thlim.pdf{\Essentials of stochastic processes", R.
Durrett , Springer{\A rst course in stochastic models", H.
Tijms, Wiley.Laboratoire Jean Leray, UMR 6629, Universite de Nantes, 92208, F-44322, Nantes cedex 03,e-mail: philippe.carmona@math.univ-nantes.fr1Processus de PoissonSECTION 1La loi exponentielleDenition 1.1. |On dit que la variable aleatoire reelleXsuit une loi ex-ponentielle de parametre >0, et on noteXexp()si elle admet pourdensitef(x) =ex1(x>0).On verie sans peine que la fonction de repartition deXestF(t) =P(Xt) = 1et(t0);queXest de carre integrable,E[X] =1, Var(X) =12et queXexp(1).Proposition 1.1(Manque de memoire de la loi exponentielle)SoitXune variable aleatoire reelle telle que0< X <+1p.s.
AlorsXsatisfait l'equation fonctionnelleP(X > t+sjX > t) =P(X > s) (s;t0)ssi il existe >0tel queXexp().Demonstration. |Il es tt rivialde v erierq uel al oie xponentiellev eriel 'equationfonctionnelle carP(X > s) =es, pours0.Reciproquement siXsatisfait l'equation fonctionnellef(t+s) =f(s)f(t) avecf(s) =P(X > s), alors on af(s)>0 pour touts0 car sif(s) = 0, alorsf(s=2) =pf(s) = 0 et donc 1 =f(0) = limn!+1f(s=2n) = 0 ce qui estcontradictoire.
On peut donc considerer la fonctiong(t) =lnf(t) qui veriel'equation de Cauchyg(t+s) =g(t) +g(s) (s;t0):Il est bien connu que commegest localement integrable, il existe une constantereelleatelle queg(x) =ax, ce qui donnef(t) =eat.
CommeX <+1ps, ilexistettel quef(t)<1 ce qui montre quea <0.Proposition 1.2(La course d'exponentielles). |SoitX;Ydeux vari-ables aleatoires independantes,Xexp(),Yexp().
AlorsZ= inf(X;Y)exp(+).Demonstration. |P ourt0,P(Z > t) =P(X > t;Y > t) =etet.Si on fait une course, on desire non seulement conna^tre le temps du gagnant,mais aussi l'identite du gagnant.
Soit doncX1;:::;Xndes variables aleatoiresindependantes qui suivent des lois exponentiellesXiexp(i). AlorsZ=inf(X1;:::;Xn) est le temps du gagnant.
Observons que par independance, sii6=j, alorsP(Xi=Xj) =Z1(x=y)fi(x)fj(y)dxdy= 0et donc, par additivite,P(9i6=j;Xi=Xj)Xi6=jP(Xi=Xj) = 0:On se placera donc sur un ensemble de probabilite 1,0=f!:8i6=j;Xi(!)6=Xj(!)gsur lequel la variable aleatoire numero du gagnant est bien denie:N= inffin:Xi=Zg:Proposition 1.3(Course d'exponentielles generale)Les variables aleatoiresNetZsont independantes,Zexp()etP(N=i) =i(1in):Demonstration. |O n etablitq uep ourt0 et 1in, on aP(Zt;N=i) =eti:On faitt= 0 pour obtenir la loi deN, puis on en deduit que, sous la loiconditionnelleP(:jN=i) la fonction de repartition deZest celle de la loi= exp().
D'ou le fait que la loi conditionnelle deZsachantN=iest.On conclut en ecrivant que pourf;gmesurables positives:E[f(Z)h(N)] =XiE[f(Z)jN=i]h(i)P(N=i) =Xi(f)h(i)P(N=i) =(f)E[h(N)]:cPhilippe Carmona, 2018 6ExerciceUne autre histoire de bus.
Pour se rendre de la gare a l'aeroport on a lechoix entre deux lignes, la 1 et la 2.
Les bus de la ligne 1 arrivent a l'arr^etsuivant un processus de Poisson de parametre1, ceux de la ligne 2 suivantun processus de Poisson de parametre2.
Les deux processus sont supposesindependants.
Les temps de parcours entre la gare et l'aeroport sont supposesdeterministes, et valent respectivementt1ett2minutes.
On supposera pourles applications numeriques que1= 1=5 et2= 1=10.John est un adepte de la ligne 1, car il trouve que les bus passent plus souvent :lorsqu'il arrive a la gare, il attend un bus de la ligne 1, puis se rend a l'aeroport.Sarah elle est une adepte de la ligne 2, car elle trouve que les bus vont plusvite : elle attend un bus de la ligne 2, puis se rend a l'aeroport.1.D eterminerle st empsd et ransportm oyende J ohnet S arah.E nd eduireune Condition necessaire et Susante, portant surt1;t2pour que Johnait la meilleure strategie : sur un grand nombre de voyages il met enmoyenne moins de temps que Sarah.
Tracer, dans le plan (t1;t2), la zoneou John a raison.2.Un et roisiemep ersonne,B ill,a u nest rategiedi erente: e llep rendl epremier bus disponible.
Calculer son temps moyen de parcours, et tracerdans le plan les zones ou John, Bill et Sarah ont la meilleure strategie.3.Ap plicationn umeriquet1= 25.
Indiquer suivant les valeurs det2, quelleest la meilleure strategie.
Interpreter vos resultats.Remarque. |Cet exercice utilise en premier lieu la loi des grands nombrespour se ramener a comparer des moyennes.
La reponse a la premiere questionest elementaire pour une personne douee de bon sens : sit1= 25, comme lesbus de la ligne1passent en moyenne toutes les 5 minutes, le temps moyen detransport de John est de 30 mn.
Sit2>20, alors Sarah mettra en moyenneplus de 30 mn, et donc John a la meilleure strategie.
Il est plus dicile decomparer la strategie de Bill aux autres car son temps moyen d'attente est3;33mn, facile a calculer mais dicile a deviner!La loi GammaOn rappelle que la loi(a;b) de parametre d'echellea >0 etde parametre de formeb >0 admet pour densite:fa;b(x) =baxa1(a)ebx1(x>0):avec (a) =R10xa1exdxqui verie la relation (a+ 1) =a(a) (on endeduit (n+ 1) =n!).cPhilippe Carmona, 2018 7Lemme 1.4(additivite des lois gamma). |(a;b)(a0;b) =(a+a0;b):Demonstration. |Il su tde c alculerl at ransformeed eLapl acede l al oi.SiX(a;b), alorsEesX=(+1sisbbbsasinon:Corollaire 1.5. |SoitX1;:::;Xnindependantes de m^eme loiexp().
AlorsSn=X1=+Xnsuit la loi(n;)et donc admet pour densitenxn1(n1)!ex1(x>0).Demonstration. |O nn oteq ueexp() =(;1) et on applique le Lemmeprecedent.La loi de PoissonRappelons qu'une variable aleatoire entiereNsuit la loide Poisson de parametre >0, noteeP(), siP(N=k) =ekkk!(k2N):On montre aisement queE[N] = Var(N) =, par exemple en calculant lafonction generatrice, la fonction caracteristique ou la transformee de Laplace:pourjuj 1;s;t2R, on a :GN(u) =EuN=e(u1);EesN=e(es1)EeitN=e(eit1):On deduit aussi immediatement de la forme de la fonction caracteristiquel'additivite des lois de Poisson:P() P() =P(+):ExerciceSoitN1;N2deux variables aleatoires independantes qui suivent des lois dePoisson de parametres respectifs1et2, et soitN=N1+N2.1.D eterminerl al oide N.2.M ontrerq uec onditionnellement aN=k, aveck2N, la loi deN1estune binomialeB(n;p) dont on determinera les parametresnetp.cPhilippe Carmona, 2018 8SECTION 2Le Processus de Poisson homogeneLe processus de Poisson est un processus de comptage : on compte le nom-bre d'occurences au cours du temps d'un evenement specique (arrivee d'unappel telephonique, entree d'un client dans une boutique, etc ).
Il appara^tnaturellement comme processus limite (voir section 4).
Faire un dessin! Plusrigoureusement,Denition 1.2. |Un Processus de Poisson de parametreest une famillede variables aleatoires(Nt)t0a valeurs dansNtelle que(a)l afo nctiont!Ntest croissante, continue a droite et ne cro^t que parsauts de1.(b)P ourtou ss;t0,Nt+sNs P(t).(c)Si t0< t1< ::: < tn, alors les variables aleatoires(Nti+1Nti)0in1sont independantes.Remarque. |Un processus qui verie (c) est dit a accroissements indepen-dants.
La propriete (b) dit que les accroissements sont stationnaires (et pois-soniens).Ntest donc le nombre d'evenements speciques qui se sont produits dansl'intervalle[0;t].On montrera plus tard comme consequence du theoreme de construction d'unemesure de Poisson generale, que si on se donne des variables aleatoires (Xn)n2Nindependantes de m^eme loiexp() et si on poseS0= 0;Sn=X1++Xn;n1; Nt=Xn11(Snt)alors (Nt)t0est un Processus de Poisson de parametre.
Les variablesSnsontappelees instants de saut du processusN, et on observe que par constructionfNtng=fSntget doncfNt=ng=fSnt < Sn+1g:Proposition 1.6. |Conditonnellement aNt=n,(S1;:::;Sn)a m^eme loique(U01;:::;U0n)statistiques s'ordre de(U1;:::;Un)IID de loi uniforme sur[0;t].
Cette loi nommeeDn;test appelee loi de DirichletDn;tet admet pourdensitegn;t(s1;:::;sn) =n!t1(0 On notera=Px2Dxune mesure2 Mp(E) :Dest un ensemble ni ou denombrable.On dit que la mesureestsimplesi chaque pointxapparait auplus une foisdans la somme.On munitMp(E) de la plus petite tribu rendant mesurables les fonctions!(f) =Px2Df(x) avecf: (E;E)!(R;B(R)) mesurable positive.Denition 1.4. |Etant donnee une mesure-niesur un espacemesurable(E;E)on dit queNest une mesure de Poisson d'intensitesiNest une variable aleatoire a valeurs dansMp(E)telle que{si les(Ai)i2Iforme une famille d'ensembles mesurables deux a deux dis-joints, alors les variables aleatoires(N(Ai))i2Isont independantes.{SiA2 Everie(A)<+1, alors la variable aleatoireN(A)suit uneloi de Poisson de parametre(A):N(A) P((A).Un processus de Poisson peut egalement ^etre considere comme un nuage alea-toire de pointsD!, et alorsN(A) =Px2D!1(x2A)est la variable aleatoirequi compte le nombre de points qui tombent dansA.Theoreme 1.7. |Etant donnee une mesure-niesur un espacemesurable(E;E), il existe un processus de Poisson d'intensite.Demonstration. |S upposonsd ansun p remiert empsq ueest une mesurenie : on posea=(E)<+1et on considere:{Mune variable aleatoire de loi de Poisson de parametrea:M P(a).{(Xn)n2Nindependantes de m^eme loiPX=1a, et independantes de lavariable aleatoireM.On pose enn :N=N(!) =M(!)Xi=1Xi(!):Montrons dans un premier temps queN(A) P((A)).
On aN(A) =PMi=11(Xi2A). C'est un exercice classique : on peut par exemple calculerla fonction generatrice: siu >0, en raison de l'independance deMet de lacPhilippe Carmona, 2018 10suite (Xn)n2N, on aEhuN(A)i=XkEhuN(A)jM=kiP(M=k)=XkEhu1(X12A)++1(Xk2A)iP(M=k)=XkEu1(X12A)kP(M=k)=XkvkP(M=k) =EvM=ea(1v)=e(A)(1u)carv=Eu1(X12A)=uP(X12A) + 1P(X12A) = 1(1u)(A)=a:Pour demontrer que l'on a reellement une mesure de Poisson, on utilise lacaracterisation suivante, appelee egalement \Master Formula"Proposition 1.8. |La mesure ponctuelle aleatoireNest une mesure dePoisson d'intensitesi et seulement si pour toute fonctionf:E![0;+1]mesurable,EheN(f)i=expZE(1ef(x))d(x):On peut alors utiliser pratiquement le m^eme argument que precedemment:EheN(f)i=XkEheN(f)jM=kiP(M=k)=XkEhe(f(X1)+f(Xk))iP(M=k)=XkEhef(X1)ikP(M=k)= exp(a(1Ehef(X1)i))et on conclut car:a(1Ehef(X1)i) =aEh1ef(X1)i=aZ1a(1ef(x))d(x) =ZE(1ef(x))d(x)Traitons maintenant le cas ou la mesuren'est pas nie.
Comme elle est-nie, on peut partitionnerE=[p2NEpavec lesEpdeux a deux disjointset(Ep)<+1. On construit alorsNpmesure de Poisson, a valeurs dansEp, d'intensitep=Eprestriction deaEp. L'important est de construireces mesuresEpde facon independante les unes des autres. Il sut ensuite decPhilippe Carmona, 2018 11poser, pourfmesurable positive,N(f) =XpNp(fjEp)Les regles d'additivite des parametres pour des variables de Poisson indepen-dantes entrainent alors automatiquement queN(f) suit une loi de Poisson deparametreXpp(fjEp) =(f):de la Proposition 1.8. |(Si les (Ai)i2Iforme une famille nie d'elements 2a 2 disjoints, alors on posef=Piai1Ai, pour des reelsai0 et on obtient:EheN(f)i=EhePiaiN(Ai)i= expZ(1ef(x))d(x)= expXiZAi(1eai)d(x)= expXi(1eai)(Ai) =YiEheaiN(Ai)ice qui prouve en considerant un seul indice queN(Ai) suit bien une loi de Pois-son de parametre(Ai), puis en considerant tous les indices que les variablesaleatoires (N(Ai))i2Isont independantes.)Pour la reciproque, en reprenant le calcul ci dessus a l'envers, on remarqueque l'on a demontre la formule pourfetagee, puis on utilise le fait qu'unefonction mesurable positivefest limite croissante de fonctions simplesfn, eton passe a la limite dans les deux c^otes de la formule:N(f) = lim"N(fn);(1ef) = lim"(1efn):En utilisant la construction de la preuve precedente ainsi que l'unicite enloi d'une mesure de Poisson d'ntensite donnee, nous obtenons les proprietessuivantes.cPhilippe Carmona, 2018 12Proposition 1.9. |SoitNune mesure de Poisson surEd'intensite.1.So itA2 Etel que(A)<+1.
ALorsN(A) P((A))et condition-nellement aN(A) =k,NjAa m^eme loi quePki=1Xiavec(Xi)i1IIDde loi(:jA).2.Si A1;A2;:::;Ak2 Esont disjoints alors les restrictionsMjAisont desmesures de Poisson independantes d'intensitesjAi.3.T outm esurede Poi ssonp euts' ecrireN=Pi2IXiavecIun ensemblealeatoire ni ou denombrable, et lesXides variables aleatoires a valeursdansE(pas necessairement IID)4.Si f0mesurable ouf2L1()alorsE[N(f)] =Zf d:Demonstration. |S eulel ade rnierei dentitees t apr ouver.On su pposef0.On peut soit appliquer la formule exponentielle afet deriver par rapport aen prenant= 0, soit ecrire directementN(f) =PpNp(f) et remarquerque par l'indentite de WaldNp(f) =E24MpXi=1f(X(p)i)35=Ehf(X(p)1)
