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Dual d'un espace vectoriel et formes linéaires

C'est quoi le dual d'un espace vectoriel ?
En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'espace des formes linéaires sur E.
La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées.
C'est quoi le dual d'un espace ?
On appelle dual de E l'ensemble des formes linéaires de E à valeurs dans K .
On le note en général E∗ .
E∗ est lui-même un espace vectoriel, de même dimension que E si E est de dimension finie.
Certaines bases de E∗ jouent un rôle particulier.
Comment montrer la forme linéaire ?
Si F = K on dit que f est une forme linéaire.
Si F = E, f est appelée un endomorphisme.
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Si φ est une forme linéaire non nulle, alors : φ est surjective, c'est-à-dire que son image est égale au corps de base ; son noyau ker(φ) est un hyperplan de E, c'est-à-dire que les supplémentaires de ker(φ) sont des droites vectorielles.

L'ensemble des formes linéaires sur E, avec l'addition définie par (l + m)(x) = l(x) + m(x) et la multiplication par les scalaires définie par (λl)(x) = λl(x), est un espace vectoriel sur K, appelé l'espace vectoriel dual de E et noté E∗.

Dual d'un espace vectoriel
Dualité en dimension finie

Dual d'un espace vectoriel et formes linéaires

C'est quoi le dual d'un espace vectoriel ?

C'est quoi le dual d'un espace ?

Comment montrer la forme linéaire ?