Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace Lp(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓp(X).
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés.
Entre deux tels espaces, les opérateurs bornés ne sont autres que les applications linéaires continues.