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221 Normes sur l'espace des fonctions continues sur un intervalle

C'est quoi une fonction continue sur un intervalle ?
Définition : Continuité d'une fonction sur un intervalle ou un ensemble.
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle (ou un ensemble) si elle est continue en chaque point de l'intervalle (ou de l'ensemble).
Comment faire pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ?
Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) et f (b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = 0.
Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. »
Est-ce que R est un espace de Banach ?
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.
qui montre que la norme est une application 1-lipschitzienne donc continue.
La norme est aussi, comme toute semi-norme, une fonction convexe, ce qui peut être utile pour résoudre des problèmes d'optimisation.

C'est quoi une fonction continue sur un intervalle ?