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TD 6 Espaces vectoriels normés

Comment montrer un espace vectoriel normé ?
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓ^p(X).
Comment prouver qu'une application est une norme ?
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).
C'est quoi une norme subordonnée ?
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés.
Entre deux tels espaces, les opérateurs bornés ne sont autres que les applications linéaires continues.
On dit que deux normes N1 et N2 sont équivalentes sur un ev E s'il existe deux constantes C1,C2 > 0 telles que ∀x ∈ E, C1N1(x) ≤ N2(x) ≤ C2N1(x).
Théor`eme 1 Soit E un espace vectoriel sur R ou C de dimension finie.
Alors toutes les normes sur E sont équivalentes.

Comment montrer un espace vectoriel normé ?