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TD 4 : Topologie générale Compacité

Comment montrer que tout ensemble fini est compact ?
Il suffit donc de montrer que O(n) est fermé et borné dans cet espace.
Le caractère fermé est évident : la fonction f : Mn(R) → Mn(R) qui à M associe MtM est polynomiale, donc continue, et l'on voit que O(n) = f−1({I}), image réciproque d'un fermé. est donc borné ; il est ainsi compact.
Comment montrer qu'une topologie est discrète ?
Un sous-ensemble L d'un espace topologique E est dit discret si tout élément x de L est isolé, c'est-à-dire s'il existe un voisinage V de x dans E tel que V∩L={x}.
V ∩ L = { x } .
Si E est un espace vectoriel normé ou un espace métrique, cela revient à dire qu'il existe r>0 tel que B(x,r)∩L={x}.
La topologie est une branche de la géométrie.
Elle se divise elle-même en plusieurs branches : La topologie générale fournit un vocabulaire et un cadre général — une définition axiomatique avec des ensembles — pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

Comment montrer que tout ensemble fini est compact ?