Comment calculer la matrice d'un endomorphisme ?
u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei. λ1=α=λi.
Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.Comment trouver les valeurs propres d'un endomorphisme ?
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 .
Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .Comment déterminer le polynôme caractéristique d'une matrice ?
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc .
Rappel.
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.- Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u .
Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables.
Théorème : Soit u un endomorphisme de E .
Réduction des endomorphismes et des matrices
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