Quels sont les problèmes d'optimisation convexe ?
Dans cette partie nous nous interesserons a des problemes d'optimisationconvexes dits non lisses c'est a dire que la fonctionFque nous voulonsminimiser est non di erentiable. Un cas particulier de non di erentiabilitequi attirera notre attention est ce lui de la somme de deux fonctions convexesdont l'une au moins est non di erentiable :
Comment montrer que la suite converge vers un minimiseur Def ?
Alors la suite(xn)2Nconverge vers un minimiseur deF. Pour demontrer cette convergence, nous allons proceder comme pour la con-vergence de la methode du gradient. C'est a dire que nous allons montrer quel'operateurTest 1Lipschitz et que la suite de terme generalkxn xn+1ktend vers 0. On concluera en utilisant le lemme 4.
Quelle est la différence entre une fonction convexe et une fonction fortement convexe ?
On peut remarquer (exercice !) que s'il existex0tel que la fonctiongx0=f(x)kx x0k2est convexe alorsfestconvexe et bien s^ur qu'unefonction fortement convexe est strictement convexe et donc convexe. Elleadmet en particulier un unique minimiseur.
Comment améliorer la vitesse de decroissance de la fonctionnelle ?
Ce qui conclut la preuve du lemme et du theoreme.Nous verrons dans la section suivante qu'il est possible de vitesse de decroissance de la fonctionnelle vers son minimum. L'idee de FISTA est d'appliquer l'operateurT= Proxrg (idrf) enutilisant un terme d'inertie pour ameliorer les bornes sur les vitesses de con-vergence.
Minimisation d\'une fonction convexe séparable avec contraintes de
Chp 4 Minimisation d'une fonction d'une variable
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