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Quel est la structure de données ?
Une structure de données est un format spécial destiné à organiser, traiter, extraire et stocker des données. S'il existe plusieurs types de structures plus ou moins complexes, tous visent à organiser les données pour répondre à un besoin précis, afin de pouvoir y accéder et les traiter de façon appropriée.Quelles sont les structures de données en informatique ?
Nous allons étudier quatre grandes classes de structures de données : Les structures de données séquentielles (tableaux) ; Les structures de données linéaires (liste chaînées) ; Les arbres ; Les graphes. En anglais : array, vector.Quels sont les 4 familles de structure algorithmique ?
Un algorigramme bien représenté doit être fl?hé et fermé, compris entre un début et une fin. Les opérations relatives à la résolution d'un problème peuvent en fonction de leur enchaînement, être organisées selon trois familles de structures : - structures linéaires, - structures alternatives, - structures répétitives.- La structuration des données des applications métiers permet la création d'un référentiel métier, avec la formalisation des relations conceptuelles existantes. Le recueil de ces concepts sera essentiel pour décrire des objets dans les différentes applications métiers.
1 de 87
Algorithmique
Structures de données
Florent Hivert
Mél :Florent.Hivert@lri.fr
Page personnelle :http://www.lri.fr/˜hivert
2 de 87
Types de données
Retenir
Avoir choisi les bons types de données permet d"avoir un programmeplus lisible car auto documenté plus facile à maintenir souvent plus rapide, en tout cas plus facile à optimiser " I will, in fact, claim that the difference between a bad programmer and a good one is whether he considers his code or his data structures more important. Bad programmers worry about the code. Good programmers worry about data structures and their relationships. " - Linus Torvalds (creator of Linux)3 de 87
Algorithmes et structures de données
La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode astucieuse pour organiser les données. Nous allons étudier quatregrandes classes de structures de données :Les structures de données séquentielles (tableaux);
Les structures de données linéaires (liste chaînées);Les arbres;
Les graphes.
Structures séquentielles : les tableaux
4 de 87Structures
séquentielles : les tableauxStructures séquentielles : les tableaux
5 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)
En anglais : array, vector.Définition
Untableauest une structure de donnéeTqui permet de stocker un certain nombre d"élémentsT[i]repérés par un indexi. Lestableaux vérifient généralement les propriétés suivantes :tous les éléments ont le même type de base;
le nombre d"éléments stockés est fixé; l"accès et la modification de l"élément numéroiest en temps constant(1), indépendant deiet du nombre d"éléments, le tableau.Structures séquentielles : les tableaux
6 de 87Un tableau en mémoire
Définition
Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.
Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple classe virtuelle).Structures séquentielles : les tableaux
6 de 87Un tableau en mémoire
Définition
Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple
classe virtuelle).Structures séquentielles : les tableaux
7 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)
On encapsule souvent le tableau dans une structure qui permet defaire varier la taille :Java : tableauint[](taille fixe),ArrayList(taille variable)C : tableauint[](taille fixe), pointeur (taille variable)C++ :std::array(taille fixe),std::vector(taille variable)Python :list(taille variable,6=liste chaînée)
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
9 de 87Tableau en Java
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
elem[] t; t = new elem[taille];Structures séquentielles : les tableaux
10 de 87Tableau partiellement remplis
Retenir
Pour simuler un tableau de taille variable, on peutréserver une certaine quantité de mémoire appeléecapacite,et ranger les valeursau début du tableau .
Organisation des données (structure, classe) :
tableau de taillecapaciteallouééléments d"indiceipour 0iStructures séquentielles : les tableaux
11 de 87Opérations de base
Hypothèses :tableau de taillecapaciteallouééléments 0i accès au premier élément :(1)accès à l"élément numéroi:(1)accès au dernier élément :(1)insertion/suppression d"un élément au début :(taille)insert./suppr. d"un élt en positioni:(taillei)O(taille)insert./suppr. d"un élt à la fin :(1)À faire : écrire les méthodes correspondantes On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un micros On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un micros À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en est possible d"aller plus vite en utilisant plus de mémoire.Exemple : on évite de faire plusieurs fois les même calculs enStructures séquentielles : les tableaux
12 de 87Problème de la taille maximum
0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre
On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite Il n"y a plus de place disponible.
0 ...taille1= capacite1u t i l i s é
Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille) Structures séquentielles : les tableaux
12 de 87Problème de la taille maximum
0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre
On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite Il n"y a plus de place disponible.
0 ...taille1= capacite1u t i l i s é
Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille) Structures séquentielles : les tableaux
13 de 87Ré-allocation
En C :realloc
void *realloc(void *ptr, size_t size);modifie la taille du bloc de mémoire pointé par ptr pour l"amener à une taille desizeoctets.realloc()conserve le contenu de la zone mémoire minimum entre la nouvelle et l"ancienne taille. [...] Si la zone pointée était déplacée, unfree(ptr)est effectué.En Java, copy systématique : E[] newData = (E[]) new Object[...];
System.arraycopy(data, 0, newData, 0, size);
data = newData; Structures séquentielles : les tableaux
14 de 87Ré-allocation : coût
Problème
Quel est le coût des réallocations?
On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien; On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.
méthodeappenden Python et Java,push_backen C++ 44000 échantillons par seconde.
Structures séquentielles : les tableaux
14 de 87Ré-allocation : coût
Problème
Quel est le coût des réallocations?
On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien; On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.
méthodeappenden Python et Java,push_backen C++ 44000 échantillons par seconde.
Structures séquentielles : les tableaux
15 de 87Rappels suites arithmétiques et géométriques
Suite arithmétique :un+1=un+r,un=u0+nr.
u 0+u1++un= (n+1)u0+un2
= (n+1)2u0+nr2 0+r+2r+:::nr= (n+1)nr2
Suite géométrique :un+1=qun,un=u0qn.
u 0+u1++un=u01qn+11qsiq6=1
1+q+q2++qn=1qn+11q
Structures séquentielles : les tableaux
16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case
On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures 11T[0]1
22T[0]T[1]2
33T[0:::1]T[2]3
..nnT[0:::n2]T[n1]n Bilan :
nX i=1i=n(n+1)2 écritures.
Structures séquentielles : les tableaux
16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case
On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures 11T[0]1
22T[0]T[1]2
33T[0:::1]T[2]3
..nnT[0:::n2]T[n1]n Bilan :
nX i=1i=n(n+1)2 écritures.
Structures séquentielles : les tableaux
17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb
Nombre d"étapes :k=dnb
e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 1b0:::b1b
22b0:::b1b:::2b12b
33b0:::2b12b:::3b13b
..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb Bilan :
kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures. Structures séquentielles : les tableaux
17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb
Nombre d"étapes :k=dnb
e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 1b0:::b1b
22b0:::b1b:::2b12b
33b0:::2b12b:::3b13b
..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb Bilan :
kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures. Structures séquentielles : les tableaux
18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan
Retenir
On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2 2(n2) Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb
ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même. Structures séquentielles : les tableaux
18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan
Retenir
On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2 2(n2)Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb
ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même. Structures séquentielles : les tableaux
19 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Bilan : Il faut allouer de plus en plus d"éléments.Question Que ce passe-t-il si l"on double la taille à chaque fois? Structures séquentielles : les tableaux
20 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Nombre d"étapes :k=dlog2ne. Hypothèse simplificatrice :nest une puissance de 2 :n=2k.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 0101
12012
240:::12:::34
380:::34:::78
4160:::78:::1516
..k2 k0:::2k112 k1:::2k12 kBilan : kX i=02 k=12k+112=2k+112nécritures. Structures séquentielles : les tableaux
20 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Nombre d"étapes :k=dlog2ne. Hypothèse simplificatrice :nest une puissance de 2 :n=2k.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 0101
12012
240:::12:::34
380:::34:::78
4160:::78:::1516
..k2 k0:::2k112 k1:::2k12 kBilan : kX i=02 k=12k+112=2k+112nécritures. Structures séquentielles : les tableaux
21 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n) Finalement le coût est(n)(carkm1
Structures séquentielles : les tableaux
21 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n) Finalement le coût est(n)(carkm1
Structures séquentielles : les tableaux
21 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n) Finalement le coût est(n)(carkm1
Structures séquentielles : les tableaux
22 de 87Nombre moyen de copies
Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments : C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1 Quelques valeurs :
K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K
K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11
Interprétation :Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre Structures séquentielles : les tableaux
22 de 87Nombre moyen de copies
Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments : C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1Quelques valeurs : K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K
K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11Interprétation : Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre Structures séquentielles : les tableaux
22 de 87Nombre moyen de copies
Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments : C=n+m1X
i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1Quelques valeurs : K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K
K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11Interprétation : Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre Structures séquentielles : les tableaux
23 de 87Bilan
Retenir (Nombre de copies)
Dans un tableau de taillen, coût de l"ajout d"un élément dans le pire des cas : Coût en tempsn;Coût en espace(K1)n:
En, moyenne sur un grand nombre d"éléments ajoutés : Coût en tempsKK1;Coût en espaceK:
On dit que l"algorithme travaille entemps constant amortis (Constant Amortized Time (CAT) en anglais). Structures séquentielles : les tableaux
24 de 87Compromis Espace/Temps
QuandKaugmente, la vitesse augmente mais la place mémoire gaspillée ((K1)n) augmente aussi. Le choix de la valeur deK dépend donc du besoin de vitesse par rapport au coût de la mémoire.Retenir C"est une situation très classique : dans de nombreux problèmes, il Structures séquentielles : les tableaux
24 de 87Compromis Espace/Temps
QuandKaugmente, la vitesse augmente mais la place mémoire gaspillée ((K1)n) augmente aussi. Le choix de la valeur deKquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
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