[PDF] Chapitre 3 : Applications 1 Introduction 2 Généralités

View - Download Chapitre 3 : Applications 1 Introduction 2 Généralités

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 3 : Applications

1 Introduction

Une fonctionf(plus précisément, une fonction réelle d"une variable réelle) est une règle qui associe à

tout réelxau plus un réel, qu"on appelle son image et qu"on notef(x). L"ensemble des réelsxdont l"image

f(x)est bien définie est l"ensemble de définition de la fonction etse noteDf.

La notion d"application que nous allons étudier est une notion voisine, tellement voisine qu"on utilisera

souvent les termes " fonction" et "application" de manière interchangeable. Il y a toutefois deux différences :

a) la première est qu"une application n"est pas définie uniquement par une règle de calcul mais aussi par

un ensemble de départ et un ensemble d"arrivée. Pour toutxdans l"ensemble de départ,f(x)doit être bien

définie et appartenir à l"ensemble d"arrivée, mais il n"y a pas d"autres conditions. En particulier, l"ensemble

de départ peut-être strictement plus petit que l"ensemble de définition.

La raison pour laquelle on s"intéresse aux ensembles de départ et d"arrivée est que pour une même règle

de calculx?→f(x), changer les ensembles de départ et d"arrivée peut changer les propriétés de l"application.

Nous verrons par exemple que l"application deR+dansR+qui axassociex2est croissante et bijective, alors

qu"avec la même règle de calcul, l"application deRdansRqui axassociex2n"est ni croissante ni bijective.

b) la deuxième différence est qu"une application n"associe pas forcément un réel à un réel, mais un élement

d"un ensembleFà un élément d"un ensembleE, oùEetFsont des ensembles quelconques. Par exemple,

on peut considérer l"application qui va de l"ensemble des étudiants de Dauphine dans l"ensemble des lettres

de l"alphabet, et qui a un étudiant associe la première lettre de son prénom. Autre exemple : notonsF(R,R)

l"ensemble des applications deRdansR. On peut considérer l"application qui va deF(R,R)dansR, et qui

à une applicationfassocie sa valeur en0.

Il est temps de donner des définitions précises.

2 Généralités

Notations : dans tout le chapitre,E,F,GetHdésignent des ensembles.

Définition.Uneapplicationfest la donnée d"unensemble de départ, d"unensemble d"arrivée, et d"unerègle

de calculqui associe à tout élémentxde l"ensemble de départ un élément de l"ensemble d"arrivée,notéf(x)

et appelé image dexparf. La règle de calcul est notéex?→f(x).

Pour se donner une applicationfd"un ensemble de départEvers un ensemble d"arrivéeF, on écrit : "

soitf:E→Fune application". Supposons qu"on veuille de plus préciserla règlex?→f(x), par exemple

qu"on veuille se donner l"application deRdansRqui àxassociex2. On écrira alors : "soitf:R→R

l"application qui à tout réelxassociex2", ou encore : soit l"application f:R→R x?→x2 L"ensemble des applications deEdansFse noteF(E,F)ouFE.

Egalité de deux applications.Les ensembles de départ et d"arrivée font partie de la définition d"une

application. De ce fait, siE,E?,F,F?sont des ensembles, deux applicationsf:E→Fetg:E?→F?sont

égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ (E=E?), même ensemble d"arrivée (F=F?) et

même règle de calcul (f(x) =g(x)pour toutxdansE). Exemple 1.Soientf1,f2,f3,f4les applications suivantes : f

1:R→R

x?→x2f2:R+→R x?→x2f3:R→R+ x?→x2f4:R+→R+ x?→x2 13

Bien qu"elles aient en commun la règle de calculx?→x2, ces applications sont toutes différentes. Par

exemple,f1etf2sont différentes car elles n"ont pas le même ensemble de départ;f1etf3sont différentes,

car elles n"ont pas le même ensemble d"arrivée. Ces applications n"ont d"ailleurs pas les mêmes propriétés.

Par exemple,f2etf4sont croissantes, alors quef1etf3ne le sont pas.

Remarques.Il faut distinguer l"ensemble de définition de la règle de calcul et l"ensemble de départ de

l"application. L"ensemble de définition de la règle de calculx?→x2estRtout entier, mais on peut très bien

prendre un ensemble de départ plus petit, comme pourf2etf4. D"autre part, il faut distinguer l"ensemble

des réels qui s"écrivent sous la formef(x)et l"ensemble d"arrivée. Il peut y avoir dans l"ensemble d"arrivée

des éléments qui ne peuvent pas s"écrire sous la formef(x), c"est à dire qui ne sont l"image d"aucun élément

de l"ensemble de départ : c"est le cas pourf1etf2, car leur ensemble d"arrivée contient des réels strictement

négatifs, et aucun réel strictement négatif ne peut s"écrire sous la formex2.

Insistons : on note souventyun élément générique de l"ensemble d"arrivée. D"autre part, vous aviez l"ha-

bitude de vous donner une fonction en écrivant "soit la fonctiony=f(x)". Du coup, certains étudiants font

la confusion et ont l"impression qu"un élément de l"ensemble d"arrivée peut toujours s"écrire sous la forme

f(x). Ce n"est pas le cas.

Applications bien définies: pour qu"une applicationfdeEdansFsoit bien définie, il faut que pour

tout élémentxdeE,f(x)soit bien définie et soit dansF. Tant que ces conditions sont satisfaites, on peut

très bien prendre comme ensembles de départ et d"arrivée desensemble peu naturels. Exemple.Soientf,gethles " applications " suivantes : f:R→R x?→1/xg:R?→]0,+∞[ x?→1/xh: [1,2]→[0,5] x?→x2

L"applicationfest mal définie car0appartient à l"ensemble de départ, maisf(0)n"est pas défini. L"applica-

tiongest mal définie car, par exemple,-2appartient à l"ensemble de départ, mais1/(-2)n"appartient pas

à l"ensemble d"arrivée. En revanche,hest bien définie, bien que ses ensembles de départ et d"arrivée ne soient

pas particulièrement naturels. Rassurez-vous : en pratique, on ne fera pas exprès de prendre des ensembles

de départ et d"arrivée bizarres, on ne le fera que quand ce sera utile. Graphe: Soitf:E→Fune application. Le graphe defest l"ensemble des couples(x,f(x)), c"est une partie deE×F. QuandEetFsont des parties deR, on peut "dessiner" le graphe de l"application comme vous le faisiez en terminale. Abusivement, on appelle aussi"graphe" le dessin du graphe. Composition: soientE,F,F?etGdes ensembles. Soientf:E→Fetg:F?→Gdes applications.

SiF=F?, ou plus généralement, siF?F?, on peut définir la composée defetg, notéeg◦f("grondf

"). C"est l"application deEdansGtelle queg◦f(x) =g(f(x))pour toutxdansE.

Exemple.Soient

f: ]2,+∞[→R x?→x2+ 1etg:R\{5} →R x?→1 x-5

Pour toutxdans]2,+∞[,f(x)?R\{5}. On peut donc définirg◦fet on a, pour toutxdans]2,+∞[:

g◦f(x) =1 (x2+ 1)-5=1x2-4

Proposition 1Soientf:E→F,g:F→G, eth:G→Hdes applications. On ah◦(g◦f) = (h◦g)◦f

(on dit que la composition des applications est une opération associative).

Preuve.Les applicationsh◦(g◦f)et(h◦g)◦fsont toutes deux égales à l"application deEdansGqui à

xassocieh(g(f(x))). 14

Application identité: soitEun ensemble. On noteIdEet on appelle application identité deEl"applica-

tion :Id

E:E→E

x?→x Proposition 2Pour toute applicationf:E→F, on aIdF◦f=f=f◦IdE. Preuve.Ces trois applications vont deEdansF. De plus, pour toutxdansE,IdF◦f(x) =IdF(f(x)) =f(x) etf◦IdE(x) =f(IdE(x)) =f(x).

3 Antécédents, image directe, image réciproque

Antécédents: soitf:E→Fune application. Soientx?Eetz?F. Sizest l"image dexparf(i.e. f(x) =z), on dit quexest un antécédent dezparf.

Un élément de l"ensemble de départ a exactement une image. Enrevanche, un élément de l"ensemble

d"arrivée peut avoir0,1ou plusieurs antécédents.

Exemple.Soitf1:R→Rqui àxassociex2. Le réel-1n"a pas d"antécédents parf1,0en a exactement

un (lui-même), et3en a deux :⎷

3et-⎷3. Soitf2:R+→Rqui àxassociex2. Le réel3a un unique

antécédent parf2:⎷

3, car-⎷3n"appartient pas à l"ensemble de départ def2.

Soitg:R→Rqui àxassocieg(x) = sinx. Les réels n"appartenant pas à l"intervalle[-1,1]n"ont pas

d"antécédents parg. Les réels appartenant à[-1,1]en ont une infinité.

Remarque: dans le cas des applications deRdansR, l"image et les antécédents d"un réel se lisent facile-

ment sur le graphe.

Image directe et image réciproque

Soitf:E→Fune application. SoientA?EetB?F.

L"image (directe)deAparfest la partie deFformée des images de tous les éléments deA. On la note

f(A). On a donc : f(A) ={f(x),x?A}={y?F,?x?A,y=f(x)}

Par exemple, siA={a,b,c},f(A) ={f(a),f(b),f(c)}.

L"image réciproquedeBparfest l"ensemble des éléments deEdont l"image est dansB. En d"autre termes, c"est l"ensemble des antécédent des éléments deB. On la notef-1(B). On a donc f -1(B) ={x?E,f(x)?B}={x?E,?z?B,f(x) =z}

Le tableau suivant donne des exemples d"images directes parles applicationsf1,...,f4de l"exemple 1. Pour

mémoire, ces applications ont toutes la règle de calculx?→x2mais diffèrent par leurs ensembles de départ

et d"arrivée. Ces derniers sont rappelés sur la première ligne du tableau. "ND" veut dire "Non défini".

R→RR+→RR→R+R+→R+

Af1(A)f2(A)f3(A)f4(A)

{2}{4}{4}{4}{4} {-2,2}{4}ND{4}ND [-1,3][0,9]ND[0,9]ND [-1,0]?[1,3][0,9]ND[0,9]ND

R+R+R+R+R+

RR+NDR+ND

15

La raison pour laquelle, par exemple,f2(R)n"est pas défini, est queRn"est pas inclus dans l"ensemble de

départ def2.

Le tableau suivant donne des exemples d"images réciproquespour les mêmes applications. On remarquera

que l"image réciproque d"un ensemble non vide peut être vide.

R→RR+→RR→R+R+→R+

Bf-11(B)f-12(B)f-13(B)f-14(B)

{-1,2}{-⎷2,⎷2}{⎷2}NDND [-1,3]?-⎷3,⎷3??0,⎷3?NDND [-1,0]?[1,3]{0} ??-⎷3,-1???1,⎷3?{0} ??1,⎷3?NDND

R+RR+RR+

R?-∅∅NDND

RRR+NDND

La raison pour laquelle, par exemple, l"image réciproque deRparf3n"est pas définie est queRn"est pas

inclus dans l"ensemble d"arrivée def3. Proposition 3Soitf:E-→Fune application. SoientAetA?des parties deE, etBetB?des parties deF. SiA?A?alorsf(A)?f(A?). SiB?B?, alorsf-1(B)?f-1(B?).

Preuve.Laissée au lecteur.

Proposition 4Soitf:E-→Fune application. SoientAetA?des parties deE, etBetB?des parties deF. Alors :

1)A?f-1(f(A)) 2)f(f-1(B))?B

3)f(A?A?) =f(A)?f(A?) 4)f(A∩A?)?f(A)∩f(A?)

5)f-1(B?B?) =f-1(B)?f-1(B?) 6)f-1(B∩B?) =f-1(B)∩f-1(B?)

7) En général, les réciproques du 1), du 2) et du 4) sont fausses.

Preuve.1) Soitx?A. PosonsB=f(A). On af(x)?Bdoncx?f-1(B) =f-1(f(A)).

2) Soity?f(f-1(B)). PosonsA=f-1(B). On ay?f(A), donc il existex?Atel quef(x) =y.

Commex?A=f-1(B), on af(x)?B. Doncy?B. Doncf(f-1(B))?B.

3) Par double inclusion. Montrons tout d"abordf(A?A?)?f(A)?f(A?). Soity?f(A?A?). Il existe

x?A?A?tel quef(x) =y. Commex?A?A?, on ax?Aoux?A?. Six?A,f(x)?f(A)doncy?f(A) doncy?f(A)?f(A?). Sinon,x?A?, et de mêmey?f(A)?f(A?). Doncf(A?A?)?f(A)?f(A?). Montrons maintenantf(A)?f(A?)?f(A?A?). On aA?A?A?doncf(A)?f(A?A?)d"après la proposition 4. De même,f(A?)?f(A?A?). Doncf(A)?f(A?)?f(A?A?), et par double inclusion on a l"égalité.

4)A∩A??Adoncf(A∩A?)?f(A). De mêmef(A∩A?)?f(A?), doncf(A∩A?)?f(A)∩f(A?).

5) Soitx?E. On a :x?f-1(B?B?)ssif(x)?B?B?donc ssi (f(x)?Bouf(x)?B?), donc ssi

(x?f-1(B)oux?f-1(B?)), donc ssix?f-1(B)?f-1(B?). Doncf-1(B?B?) =f-1(B)?f-1(B?).

6) Identique à la preuve du 5) en remplaçant?par∩, et "ou" par "et".

7) Pour voir que les réciproques du 1), du 2) et du 4) sont fausses, considérons l"applicationf:R→R

qui àxassociex2. PosonsA=B=R-etA?=R+. On af(A) =R+, doncf-1(f(A)) =R?=A. Donc la

réciproque du 1) est fausse. On af-1(B) ={0}, doncf(f-1(B)) ={0} ?=B, donc la réciproque du 3) est

fausse. Enfin,f(A?) =R+=f(A), doncf(A)∩f(A?) =R+, maisA∩A?={0}, doncf(A∩A?) ={0} ?= f(A)∩f(A?). Donc la réciproque du 4) est fausse. 16

4 Applications injectives, surjectives, bijectivesDéfinition.Soitfune application.

?festinjectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aau plusun antécédent parf. ?festsurjectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aau moinsun antécédent. ?festbijectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aun uniqueantécédent.

Cette définition peut se reformuler ainsi :fest injective (respectivement surjective; bijective) si pour

toutzdansF, l"équationf(x) =za au plus une solution dansE(respectivement au moins une solution;

exactement une solution). Une application injective (respectivement surjective, bijective) est aussi appelée

une injection (respectivement surjection, bijection).

Exemples.Soientf1:R→R,f2:R+→R,f3:R→R+etf4:R+→R+qui àxassocientx2. L"application

f

1n"est ni injective ni surjective;f2est injective mais pas surjective;f3est surjective mais pas injective;f4

est bijective. SoitEun ensemble. L"application identité deEest bijective (prouvez-le!). Proposition 5Soitf:E→Fune application. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1)fest injective.

2) Pour tousxetx?dansE, sif(x) =f(x?)alorsx=x?.

3) Pour tousxetx?dansE, six?=x?, alorsf(x)?=f(x?).

Preuve.. Faisons une preuve cyclique. 1)?2) : Supposonsfinjective. Soientxetx?dansEtels que

f(x) =f(x?). Soitz=f(x). Six?=x?,za au moins deux antécédents distincts, ce qui est impossiblecarf

est injective. Doncx=x?et 2) est vérifié.

2)?3) : évident car une implication et sa contraposée sont équivalentes.

3)?1) : soitzdansF. Siza deux antécédents distinctsxetx?alorsx?=x?maisf(x) =z=f(x?), ce

qui contredit 3). Doncza au plus un antécédent, doncfest injective. Proposition 6Soitf:E→Fune application.fest surjective si et seulement sif(E) =F.

Preuve.f(E)est l"ensemble des images des éléments deE. C"est donc l"ensemble des éléments deFqui

ont au moins un antécédent. Doncf(E) =Fssi tout élément deFa au moins un antécédent parf, c"est à

dire ssifest surjective. Proposition 7Soientf:E→Fetg:F→Gdes applications. On a :

1) sifetgsont injectives, alorsg◦fest injective.

2) sifetgsont surjectives, alorsg◦fest surjective.

3) sig◦fest injective, alorsfest injective.

4) sig◦fest surjective, alorsgest surjective.

5) Les réciproques sont toutes fausses.

Preuve.1) Supposonsfetginjectives. Soientxetx?dansEtels queg◦f(x) =g◦f(x?). On ag(f(x)) =

g(f(x?))donc par injectivité deg,f(x) =f(x?), donc par injectivité def,x=x?. L"applicationg◦fest

donc bien injective.

2) Supposonsfetgsurjectives. Soitz?G. Commegest surjective, il existey?Ftel quez=g(y). De

plus, commefest surjective, il existex?Etel quey=f(x). On a doncz=g(f(x)) =g◦f(x), doncza au moins un antécédent parg◦f. Doncg◦fest bien surjective.

3) Supposonsg◦finjective. Soientxetx?dansEtels quef(x) =f(x?). On a doncg(f(x)) =g(f(x?)),

donc par injectivité deg◦f,x=x?. Doncfest injective. On peut aussi faire une preuve par contraposée : si

fn"est pas injective il existex?=x?dansEtels quef(x) =f(x?). Mais alorsg(f(x)) =g(f(x?)), doncg◦f

n"est pas injective. 17

4) Supposonsg◦fsurjective. Soitz?G. Commeg◦fest surjective, il existexdansEtel quez=g◦f(x).

Posonsy=f(x)(c"est à dire : appelonsyl"image dexparf). On ay?Fetz=g(y), doncza au moins un antécédent parg, doncgest surjective.

5) Montrons que les réciproques de 1) et 2) sont fausses : soitf:N→Nqui à tout entier natureln

associen+1. Soitg:N→Nqui à tout entier naturelnassocien-1sin?= 0et qui à0associe0. Pour tout

entier natureln, on ag◦f(n) =g(n+ 1) = (n+ 1)-1 =n(on a utilisén+ 1?= 0pour calculerg(n+ 1)).

On a doncg◦f=IdN. L"applicationg◦fest donc bijective, donc injective et surjective. Pourtantfn"est

pas surjective (car0n"a pas d"antécédents parf) etgn"est pas injective (car0a deux antécédents parg:1

et0).

Montrons maintenant que les réciproques de 3) et de 4) sont fausses. Soientf=IdRetgl"application de

RdansRqui à tout réelxassocie0. L"applicationgest donc constante. Pour tout réelx,g◦f(x) =g(x) = 0.

L"applicationg◦fn"est donc pas injective, bien quefle soit. Le lecteur vérifiera que, de même, l"application

f◦gn"est pas surjective, bien quefle soit.

5 Application réciproque d"une application bijective

Soitf:E→Fune application bijective, c"est à dire que chaque élément deFa exactement un antécédent

dansE. On appelle application réciproque defl"applicationg:F→Etelle que pour toutydansF,g(y) est l"unique antécédent deyparf. On la notef-1. Proposition 8Soitf:E→F. Sifest bijective, alors pour toutxdansEet toutydansF,(y=f(x))? (x=f-1(y)).

Preuve.Soitx?Eety?F. Siy=f(x)alorsxest un antécédent dey. Maisf-1(y)est l"unique antécédent

deyparf, doncf-1(y) =x. Réciproquement, six=f-1(y), alorsxest l"unique antécédent deyparf; en

particulier,xest un antécédent dey, doncf(x) =y.

Proposition 9Soitf:E→Fune application.

1) sifest bijective, alorsf-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF.

2) S"il existe une applicationgdeFversEtelle queg◦f=IdEetf◦g=IdF, alorsfest bijective et

g=f-1.

3) sifest bijective, alors sa réciproquef-1aussi et(f-1)-1=f.

4) Soitg:F→G. Sifetgsont bijectives, alorsg◦fest bijective et(g◦f)-1=f-1◦g-1.

Preuve.1) Supposonsfbijective. Soitx?E. Posonsy=f(x). D"après la proposition 8,f-1(y) =xdonc f -1(f(x)) =x, doncf-1◦f=IdE. Le lecteur vérifiera que, de même,f◦f-1=IdF.

2) Supposonsg◦f=IdEetf◦g=IdF. On a doncg◦fetf◦gbijectives. En particulier,g◦fest injective,

doncfest injective d"après le point 3) de la proposition 7. De même,f◦gest surjective, doncfest surjective.

L"applicationfest donc bijective, donc sa réciproquef-1existe et d"après 1),f-1◦f=IdF. En composant

l"égalitéf◦g=IdFparf-1, on obtientf-1◦f◦g=f-1◦IdF=f-1, doncg=IdF◦g= (f-1◦f)◦g=f-1.

3) Supposonsfbijective. Pour mieux comprendre la façon dont nous allons utiliser le 2), posons˜f=g-1,

˜g=f-1,˜E=Fet˜F=E. On a d"après le 1),˜g◦˜f=Id˜Eet˜f◦˜g=Id˜F. D"après le 2), on a donc˜fbijective

et ˜f-1= ˜g, c"est à diref-1bijective et?f-1?-1=f

4) Supposonsfetgbijectives. Leur réciproquesf-1etg-1existent donc. De plus,(g◦f)◦(f-1◦g-1) =

g◦(f◦f-1)◦g-1=g◦IdF◦g-1=g◦g-1=IdG. De même,(f-1◦g-1)◦(g◦f) =IdE, donc d"après le

2),g◦fest bijective et(g◦f)-1=f-1◦g-1.

On utilise souvent le 2) sous la forme suivante, dont la preuve est laissée au lecteur : Proposition 10Soitf:E→Fune application. Supposons qu"il existe une applicationg:F→Etelle que, pour toutxdansEet toutydansF,y=f(x)?x=g(y). Alorsfest bijective etf-1=g. 18

Cohérence des notations.Soitf:E→Fune application. SoitB?F. Quefsoit bijective ou non, on notef-1(B)l"image

réciproque deBparf. D"autre part, quandfest bijective,f-1désigne son application réciproque, et on

note donc aussif-1(B)l"image directe deBpar l"application réciproque def. Il y a donc a priori un problème

car on désigne par une même notation deux objets a priori différents. La proposition suivante montre qu"il

n"en est rien, car quandfest bijective, l"image réciproque deBparfcoincide avec l"image deBpar la réciproque def. Il n"est donc pas gênant de les noter de la même façon. Proposition 11Soientf:E→Fetg:F→Edes applications. SoitB?F. SoientA={x?E,f(x)? B}etA?={g(y),y?B}. L"ensembleAest l"image réciproque deBparf, etA?est l"image (directe) deB parg. On a : sifest bijective etgest sa réciproque, alorsA=A?. Preuve.Supposons quefsoit bijective et quegsoit sa réciproque. Montrons queA=A?par double inclusion. Six?A, alorsf(x)?B, doncg(f(x))?g(B) =A?, maisg(f(x)) =x, doncx?A?, doncA?A?. Réciproquement, six?A?, alors il existey?Btel quex=g(y). On af(x) =f(g(y)) =y, doncf(x)?B, doncx?A, doncA??Aet par double inclusionA=A?.

Attention: sifn"est pas bijective, son application réciproque n"existe pas. La notationf-1(B)ne désigne

alors pas l"image deBpar l"applicationf-1(puisque cette application n"existe pas!), mais uniquement l"image

réciproque deBparf. En particulier, ce n"est pas parce que la notationf-1(B)apparaît dans un énoncé

qu"on a supposé quefétait bijective.

6 Prolongements et restrictions

Définition.Soitf:E→Fune application. SoitA?EetB?Ftel quef(A)?B. On appelle restriction

defàAcomme ensemble de départ etBcomme ensemble d"arrivée, et on notef|A→B, l"application deA

dansBqui à toutxdansAassocief(x). Cette application a la même règle de calcul quef, seuls changent

les ensembles de départ et d"arrivée.

Notation : quand on restreint uniquement l"ensemble de départ (B=F: cas courant), on utilise aussi la

notationf|Apourf|A→F.

Définition.Soientfetgdes applications. On dit quefest un prolongement degsigest une restriction def.

Exemples.

1) Soitf:R→Rqui àxassociex2. Soitg=f|R+→R+, c"est à dire soitg:R+→R+qui àxassociex2.

L"applicationgest une restriction def. Elle a l"avantage d"être croissante et bijective, alors quefne l"est

pas.

2) Soitg:R?→Rqui àxassocie(sinx)/x. Soitf:R→Rqui àxassocie(sinx)/xsix?= 0, et qui

à0associe1. L"applicationfest un prolongement deg(on ag=f|R?). De plus, on peut montrer quef

est continue surR. On dit quefest le prolongement par continuité deg. L"avantage de considérerfplutôt

quegest qu"on peut appliquer àfles théorèmes sur les fonctions continues surRtout entier (par exemple,

avecfon peut utiliser le thèorème des valeurs intermédiaires surun intervalle contenant0, alors qu"on ne

pourrait pas avecg). La proposition suivante est évidente quand on voit ce qu"elle signifie sur des "patates" :

Proposition 12Soitf:E→Fune application.

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] injective surjective bijective pdf

[PDF] pny duo link pour iphone

[PDF] h.264 dvr android application

[PDF] duo link mode d'emploi

[PDF] i usb storer user manual

[PDF] clé usb pny non reconnue

[PDF] gmobi istick

[PDF] ud-wl01

[PDF] cours algebre application linéaire

[PDF] application bijective exercices corrigés

[PDF] rapport de stage application mobile

[PDF] rapport projet android pdf

[PDF] rapport de stage developpement application android

[PDF] conception d'une application mobile pdf

[PDF] rapport projet application android