[PDF] Binôme de Newton Ainsi le coefficient de a4b2c3

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Binˆome de Newton

Aim´e LachalBinˆome de Newton

Sommaire

1Factorielle

2Combinaison

3Formule du binˆome

4Applications trigonom´etriques

5Application aux probabilit´es

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

D´efinition (Factorielle)

Soit n?N?. On appelle" factorielle »de n le nombre n! = 1×2×3× ··· ×n=n k=1k. Par convention, on pose0! = 1.Exemple (Les 10 premi`eres factorielles)

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 1206! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Proposition (Permutations)

n!est le nombre depermutationsd"un ensemble contenant n el´ements.Exemples (Permutations) Casn= 3 :il y a 3! = 6 permutations de 3´el´ements.

123 132 213 231 312 321Casn= 4 :il y a 4! = 24 permutations de 4´el´ements.

1 234
1 243
1 324
1 342
1 423
1 432
2 134
2 143
2 314
2 341
2 413
2 431
3 124
3 142
3 214
3 241
3 412
3 421
4 123
4 132
4 213
4 231
4 312
4 321

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

50!
46!
= 50×49×48×47 = 5527200(2n+ 3)!(2n+ 1)!=(2n+ 3)(2n+ 2)×(2n+ 1)!(2n+ 1)!= (2n+ 3)(2n+ 2) (n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!= (n+ 1)n(n-1) +n=n3 (n-1)!n!-n!(n+ 1)!=1n -1n+ 1=1n(n+ 1)(2n)!n!=(2n)(2n-1)...(n+ 1)×n!n!= (n+ 1)(n+ 2)...(2n) Pourn= 1,2,3,4 on obtient respectivement : 2,12,120,1680.Une minoration den!:pourn>10, n! =n???? >10×(n-1)???? >10×(n-2)???? >10× ··· ×10???? >10×9!>9!×10n-9Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemples (Factorielles)

Produit des premiers nombres pairs :partant den?

k=1(2k)= n? k=12×n? k=1k, on trouve n

k=1(2k) = 2×4×6× ··· ×(2n) =2 nn!Produit des premiers nombres impairs :partant den?

k=0(2k+ 1)×n? k=1(2k)= 1 ×2× ··· ×(2n+ 1) =(2 n+ 1)! on trouve n? k=0(2k+ 1)= 1 ×3×5× ··· ×(2n+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!Partant de, pour toutk>1,k!>2k-1:n? k=11k!6n k=112 k-1=1-12 n1-12<11-12= 2

Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemple (Arrangements(facultatif))On dispose denobjets discernables. On en pr´el`eve successivementp

les uns apr

`es les autres. Il y a :nchoix possibles pour pr´elever le 1erobjet;(n-1) choix possibles pour pr´elever le 2eobjet;(n-2) choix possibles pour pr´elever le 3eobjet;...

(n-p+ 1) choix possibles pour pr´elever lepeobjet. On obtient ainsin×(n-1)×(n-2)×···×(n-p+1) pr´el`evements possibles. On an(n-1)(n-2)...(n-p+ 1) =n!(n-p)!. C"est le nombre d"arrangementsdepobjets parmin. On le noteApn.Aim´e LachalBinˆome de Newton

1. Factorielle

Exemple (Le tierc´e hippique(facultatif))Letierc´eest un principe de pari hippique dans lequel le parieur est

invit ´e`a pronostiquer les trois chevaux arriv´es en tˆete d"une course, soit dans l"ordre pour un gain maximal, soit dans un ordre diff

´erent.

Un pronostic detierc´e ordonn´erevient`a d´esigner 3 num´eros parmi n(effectif total des partants). Il y en aA3n=n×(n-1)×(n-2). Pour une course de 10 partants, il y aA310= 10×9×8 = 720 tierc´es ordonn ´es possibles, pour une course de 20 partants, il y en a A

320= 20×19×18 = 6840.Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Une´epreuve de Bernoulliest une exp´erience al´eatoire`a deux issues possibles (par exemple " succ `es » et "´echec »).Unsch´ema de Bernoulliest une r´ep´etition d"´epreuves de

Bernoulli identiques et ind

´ependantes.D´efinition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}.

On appelle" combinaison »de p parmi n le nombre de chemins dans l"arbre binaire repr

´esentatif d"un sch´ema de n´epreuves de

Bernoulli conduisant

`a p succ`es.

On note ce nombre?n

p? (" p parmi n »). ?n p? est aussi le nombre de pr

´el`evementssimultan´es(sans remise)

de p objets parmi n.

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2. Combinaison

Arbre binaire

succ `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echec´ epreuve no1´ epreuve no2´ epreuve no3´ epreuve no4••

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2. Combinaison

Arbre binaire : 2 succ`es sur 4 ´epreuves

succ `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echec´ epreuve no1´ epreuve no2´ epreuve no3´ epreuve no4•• •X XX XX X? 4 2? =6

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2. Combinaison

Proposition (Combinaison)

Soit n?Net p? {0,1,...,n}. On a

?n p? =n!p!(n-p)!=n(n-1)···(n-p+ 1)p!En effet : ´etant donn´epobjets discernables pr´elev´es simultan´ement, leursp! permutations g´en`erent tous les pr´el`evements successifs pos- sibles de ces objets. Comme il y aApnpr´el`evements successifs distincts (arrangements) de pobjets parmin, il y ap! fois moins pr´el`evements simultan´es, soit A pnp!=?n p?

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2. Combinaison

Exemple (Jeu du loto(facultatif))Le jeu duloto(version 1976) consiste`a cocher 6 num´eros sur une grille de 49 cases num

´erot´ees de 1`a 49.

Le tirage s"effectue par des pr

´el`evements successifs de 6 boules d"une

gigantesque urne rotative. Cela dit, l"ordre des num

´eros tir´es n"a pas

d"importance, le tirage est ´equivalent`a un pr´el`evement simultan´e de

6 boules.

Il y a donc 1 seule combinaison gagnante parmi?49

6? combinaisons possibles avec ?49 6? =49×48×47×46×45×446! = 13983816. Il y a ainsi 1 chance sur environ 14 millions de remporter le gros lot, soit une probabilit ´e de 7×10-8...Aim´e LachalBinˆome de Newton

2. Combinaison

Proposition (Valeurs particuli`eres, sym´etrie)

1Pour tous p,n?Ntels que p6n,?n

n-p? =?n p? .2? n 0? =?n n? =1?n 1? =?n n-1? =n?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2

Exemples (Combinaisons)

5 2? =5×42 = 10?50 2? =50×492 = 1225 ?50 49?
=?50 50-1?
=?50 1? = 50

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2. Combinaison

Proposition (Formule de Pascal)

Soit p,n?Ntels que p6n-1.?n

p? +?n p+ 1? =?n+ 1 p+ 1?En effet : ?n p+ 1? =n!(p+ 1)!(n-p-1)!=n-pp+ 1×n!p!(n-p)!=n-pp+ 1? n p? puis ?n p? +?n p+ 1?

1 +n-pp+ 1??

n p? =n+ 1p+ 1? n p? n+ 1p+ 1×n!p!(n-p)!=(n+ 1)!(p+ 1)!(n-p)! =?n+ 1 p+ 1?

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2. Combinaison

Triangle de Pascal

a aaapn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 01 11 1

21 2 1

31 3 3 1

41 4 6 4 1

51 5 10 10 5 1

61 6 15 20 15 6 1

71 7 21 35 35 21 7 1

81 8 28 56 70 56 28 8 1

91 9 36 84 126 126 84 36 9 1

101 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

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