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Comment fonctionne un arbre binaire?

Avant d’entrer dans le vif du sujet (les algorithmes), nous allons un peu approfondir la notion d’arbre binaire: A chaque noeud d’un arbre binaire, on associe une cle ("valeur" associee au noeud on peut aussi utiliser le terme "valeur" a la place de cle), un "sous-arbre gauche" et un "sous-arbre droit".

Quelle est la complexité de l’insertion dans un arbre binaire ?

Par conséquent, la recherche dans un arbre binaire a une complexité dans le pire des cas de O (n). Insertion : pour insérer un élément en tant qu’enfant gauche de 2, nous devons parcourir tous les éléments. Par conséquent, l’insertion dans l’arbre binaire a une complexité dans le pire des cas de O (n).

Quels sont les différents types d’opérations dans l’arbre binaire ?

Les principales opérations dans l’arbre binaire sont : rechercher, insérer et supprimer. Nous verrons le pire des cas de complexité temporelle de ces opérations dans les arbres binaires. Dans un arbre binaire, un nœud peut avoir au maximum deux enfants. Considérez l’arbre binaire asymétrique à gauche illustré à la figure 1.

Comment calculer la profondeur d'un arbre binaire?

On appelle profondeur d'un nœud ou d'une feuilledans un arbre binaire le nombre de nœuds du chemin qui va de la racine à ce nœud. La racine d'un arbreest à une profondeur 1, et la profondeur d'un nœud est égale à la profondeur de son prédécesseur plus 1. Si un nœud est à une profondeur p, tous ses successeurs sont à une profondeur p+1.

Dans les arbres binaires : exercice de synthèse en C++ Travaux dirigés et pratiques - PO2 (UE ULIN606)

1 Présentation

Nous allons étudier deux sortes d"arbres binaires étiquetés aux noeuds, les arbres binaires de

recherche et les peignes pleins c?(qui ont une structure particulière). Ces arbres partagent un certain nombre de caractéristiques :

- d"un point de vue "spécification" : ils doivent répondre à des messages du même genre (sous-

arbre gauche, droit, impression, insertion d"une valeur, recherche d"une valeur, ...) - d"un point de vue "implémentation" : ils doivent pouvoir s"appuyer sur un même type de

représentation interne, qui devrait même être utilisable par toute espèce d"arbre binaire.

Unpeigne pleinest :

- soit réduit à un noeud unique, - soit un peignetoutPlein, - soit un arbre de sous-arbre gauche vide et dont le sous-arbre droit est un peignetoutPlein.

Un peignetoutPleinest un arbre binaire tel que :

- le sous-arbre gauche est une feuille - le sous-arbre droit est vide outoutPlein.18 23
15 33
42
5 77
18 7 23
15 33
42
77

7Fig.1 - Deux exemples de peignes pleins

Le peigne de gauche a été construit à partir des données42 18 33 7 15 77 23 5, celui de droite

à partir de42 18 33 7 15 77 23.

Comme vous le savez déjà, unarbre binaire de rechercheest un arbre binaire dont les clés sont

ordonnées de la façon suivante : sixest un sommet quelconque de cléc, etXl"arbre enraciné en

x, toute cléc?du sous-arbre gauche deXest telle quec?< cet toute cléc??du sous-arbre droit deXest telle quec < c??. On suppose qu"on ne trouve pas deux fois la même valeur dans l"arbre (les clefs sont uniques). 9 12 15 10 11 5

62Fig.2 - Un arbre de recherche

Cet arbre a été construit à partir des données9 5 2 6 12 10 11 15. Une fois n"est pas coutume, nous n"allons pas nous lancer dans une spécification complète des

classes avant tout travail sur l"implémentation,maiscela ne nous empêchera pas de bien prêter

attention à ne pas mélanger les deux. Nous allons avancer selon des étapes qui vous permettront,

lors du TP, de tester au fur et à mesure les méthodes.

2 Un type de données récursif

Les arbres binaires ont une (jolie) définition récursive naturelle sur laquelle nous allons nous

appuyer pour la représentation interne de la classe et l"écriture des méthodes.

Dit rapidement, un arbre binaire est soit vide, soit composé de trois éléments : une clé, un arbre

(le sous-arbre gauche), un autre arbre (le sous-arbre droit). On souhaite utiliser les déclarations partielles C++ suivantes : class Noeud{ private:

TypeCle cle; Arbre * filsGauche, * filsDroit;...}

La classeArbrecontiendra un attributracine, de type pointeur sur unnoeud, et déclaréprotected. Un arbre vide sera représenté par un arbre dont l"attributracinea pour valeur NULL.

1. Dessinez la représentation en mémoire de l"arbre binaire de recherche et des deux peignes

donnés en exemple dans le paragraphe précédent.

2. Proposez un diagramme de classes qui contient ce qu"il faut pour représenter les types

d"arbres binaires décrits dans la présentation. Pour le moment, les classes ne doivent conte- nir que les attributs (en accord avec les déclarations C++ ci-dessus) et les constructeurs.

3 Début d"implémentation

3.1 Information préliminaire

Vu les types des attributs des classesNoeudetArbre, il faudrait inclure le fichierArbre.hdans le fichierNoeud.h, et le fichierNoeud.hdans le fichierArbre.h. Évidemment, ce n"est pas possible, et ce n"est pas accepté à la compilation. On va donc utiliser la syntaxe suivante : fichierNoeud.hfichierArbre.h class Arbre; #include "Noeud.h" class Noeud{...}; class Arbre{...}; fichierNoeud.ccfichierArbre.cc #include "Noeud.h" #include "Arbre.h" #include "Arbre.h" .... La déclarationclass Arbre;annonce qu"une classeArbresera définie. C"est suffisant pour que la déclaration de la classeNoeudsoit compréhensible, donc il n"y a pas besoin d"autre chose dansNoeud.h. Par contre, on ajoute#include "Arbre.h"dansNoeud.cc: si on fait appel à une

méthode deArbre, il faut avoir la déclaration complète de la classe, et pas seulement son nom1.

3.2 Classe Noeud

Écrivez en C++ la classe complète, qui contient uniquement constructeurs, destructeur, et ac- cesseurs aux attributs. Pour la clé, les accesseurs sont ceux habituellement utilisés. Pour les fils, on met uniquement les accesseurs suivants :

Dans le.h:

virtual Arbre*& refFilsG(); virtual Arbre*& refFilsD();Dans le.cc:

Arbre*& Noeud::refFilsG() {return FilsG;}

Arbre*& Noeud::refFilsD() {return FilsD;}

Ce type d"accesseur renvoie l"adresse de l"attribut au lieu de renvoyer une copie de sa valeur. Voir la raison d"utilisation dans la sous-section suivante.1

En fait, dans le cas particulier de cet exercice, vous n"aurez certainement pas besoin des méthodes deArbre

dans la classeNoeud, et vous pourriez ne pas mettre cetinclude. Mais ainsi vous avez la syntaxe complète pour

un cas général d"inclusions croisées ou circulaires.

3.3 Classe Arbre : opérations de base

On veut pouvoir appliquer aux arbres représentés les opérations suivantes : -sag: renvoie l"adresse du sous-arbre gauche; -sad: renvoie l"adresse du sous-arbre droit; -clef: renvoie la valeur contenue dans la racine; -estVide: renvoievraisi l"arbre est vide,fauxsinon; -feuille: renvoievraisi l"arbre est réduit à un noeud unique,fauxsinon. Écrivez en C++ la classe Arbre munie de ces opérations. Les méthodessagetsadrenvoient l"adresse de la racine du sous arbre, et non une copie de cette racine, pour deux raisons : - éviter de faire continuellement des copies de pointeurs inutiles quand on fait des parcours dans les arbres (ce cas se présente beaucoup dans ce tp);

- donner un accès fugitif à une case de l"arbre (ce cas ne se présente pas dans ce tp, mais est

logique si on veut que la représentation soit suffisamment générale).

4 Insertion

On veut pouvoir insérer des clefs dans les arbres représentés. L"insertion dans le peigne doit préserver sa structure (voir les deux exemples). L"insertion dans

l"arbre de recherche doit préserver l"ordre des éléments (vous l"avez vue en algorithmique).

Ajoutez les méthodes nécessaires.

5 Affichage

Ecrivez les méthodes nécessaires pour que l"affichage d"un peigne soit sous le format suivant (avec

l"exemple de droite de la Figure 1) :

Je suis un peigne plein

J"affiche mes clefs dent par dent

Gauche = . Cle = 23

Gauche = 77 Cle = 15

Gauche = 7 Cle = 33

Gauche = 18 Cle = 42

... et l"affichage d"un arbre de recherche sous celui-ci (avec l"exemple de la Figure 2) :

Je suis un arbre de recherche

J"affiche mes clefs par ordre croissant

2 5 6 9 10 11 12 15

Prévoyez également un affichage indenté des arbres (où le placez-vous dans la hiérarchie?), qui

donnerait sur l"arbre de recherche : 9 5 2 6 12 10 11 15 Quand ces méthodes seront au point ajoutez ce qu"il faut pour pouvoir écrire : cout << BoùBest une instance de n"importe laquelle de vos classes arbres.

6 Recherche

Ecrivez les méthodes qui renvoientvraisi une clef donnée est présente dans un arbre,fauxsinon.

7 Destruction, Copie

Ecrivez les destructeurs, vous pouvez vous lancer dans la destruction récursive ... Écrivez les constructeurs par copie et les opérateurs =

8 Exceptions

Etudiez les différentes erreurs pouvant se produire dans les méthodes des arbres binaires, représentez-

les par des exceptions que vous signalerez et tâcherez de récupérer dans un programme.

9 Généricité paramétrique

Dans les exemples qui vous ont été proposés, les clefs sont des entiers. Proposez des arbres binaires

paramétrés par le type des étiquettes. Quelle contrainte doit vérifier le type des étiquettes dans

le cas des arbres binaires de recherche? Pouvez-vous l"exprimer en C++?quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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