COURS DE DENOMBREMENT

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VVY4K-OT4FI Dénombrer c'est compter le nombre d'éléments que contient un ensemble fini

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COURS DE DENOMBREMENT. 1/ Définition des objets : introduction. Guesmi.B. Dénombrer c'est compter des objets. Ces objets sont créés à partir d'un ensemble

DÉNOMBREMENT

Notre dernier dénombrement à base de coefficients binomiaux est particulièrement malin et pas forcément facile à in- venter seul si on ne l'a pas déjà rencontré

Dénombrement

Nous devons donc utiliser les combinaisons ! 2) La course et le podium : dans une course de 100m il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur

Le Dénombrement —

Jun 21 2018 Cours MPSI-2017/2018. Le Dénombrement http://pascal.delahaye1.free.fr/. Proposition 2 : Fonction bijective sur des ensembles de cardinal ...

Résumé du cours de 1ère année Dénombrement

Résumé du cours de 1ère année. Dénombrement. 2021 - 2022. 1. Rappels de théorie des ensembles. 1_. Rappel sur les applications.

15. Méthode/Cours : dénombrer un ensemble

Dénombrer un ensemble revient à déterminer "le nombre de façons de Ainsi avant de dénombrer un ensemble E

Première L Cours dénombrements et tableaux

Cours dénombrements et tableaux. 1. 1 Diagrammes. Dénombrer c'est répondre à la question « Combien y a-t-il d'éléments »? Un diagramme

DENOMBREMENT

avec une démonstration analogue on obtient : Cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer

Dénombrement et probabilités

Dénombrement et probabilités. 2.3. Notation. Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n est noté (n p). On lit p parmi n . 2.4. Proposition.

COURS DE DENOMBREMENT - Meabilis

2/ Dénombrement : permutations * Si p = n on dénombre alors les permutations d’éléments de E Sur notre cas particulier en utilisant par exemple la technique des cases on trouve qu’il existe : 4x3x2x1 permutations des éléments de E Soit : 24 permutations des 4 éléments de E

Fiche 9 : Dénombrement - Studyrama

Fiche Cours Plan de la fiche I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E

Cours - Denombrement - Christophe Bertault

Dénombrement : par décomposition du problème D D B k?1 choix D D B Position k D D À présent pour savoir compter nous venons de voir qu’il faut savoir énumérer — mais qu’est-ce qu’énumérer? Énumérer c’est ordonner selon un principe de classement RÉFLÉCHI Exemple

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT - maths et tiques

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT Tout le cours en vidéo : https://youtu be/VVY4K-OT4FI Partie 1 : Principe additif et principe multiplicatif 1) Notion de dénombrement Définitions : Un ensemble ! est fini lorsqu’il admet un nombre fini d’éléments Le nombre d’éléments de ! est appelé le cardinal de l’ensemble et il est noté :

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2 2 NOMBRE DE PERMUTATIONS 2 2 Nombre de permutations Théorème 3 : Soit E un ensemble de n éléments Une permutation de E est un ordre possible des n éléments de E Le nombre de permutations de E est égal à n!

Comment dénombrer des objets?

Dénombrer, c’est compter des objets. Ces objets sont créés à partir d’un ensemble E, formé d’éléments. partir des éléments de cet ensemble, les objets que l’on peut former sont soit des listes d’éléments de E soit des sous-ensembles de E.

Quels sont les tirages à dénombrer?

DémonstrationLes tirages à dénombrer sont de deux types, il y a ceux qui commencent par un numéro pair et ceux qui commencent par un numéro impair. Nous allons dénombrer séparément ces deux ensembles de tirages et nousADDITIONNERONSà la ?n les deux cardinaux obtenus. Combien sont-ils àcommencer par un numéro pair?

Comment dénombrer les élèves de la classe?

Méthode : Dénombrer en utilisant un diagramme Dans une classe, deux options sont proposées : latin et théâtre. On sait que, 16 élèves pratiquent le latin, 14 le théâtre, 5 pratiquent les deux options et 8 n’en pratiquent aucune.

Comment dénombrer un problème?

Dénombrement : par décomposition du problème. b b b b b b b b b b b b b b b p p p p(ici 4) b b Départ Arrivée

1/ Définition des objets : introduction Guesmi.B

Dénombrer,

A partir des éléments de cet

-ensembles de E.

A la différence des sous-ensembles,

les listes peuvent utiliser plusieurs fois un même élément, et surtout, possèdent un ordre.

Dans les exercice

Le dénombrement

expérience. Nous allons maintenant définir avec plus de précisions Soit E un ensemble à 4 éléments : E ={ a ; b ; c ; d}

Remarques :

1) cardinal de E et noté card E = 4

2) les éléments de E sont 2 à 2 distincts, sinon

* prenons 4 jetons indiscernables au toucher

* inscrivons sur le premier : a, sur le deuxième : b, sur le troisième : c, sur le dernier : d et

plaçons-les dans un sac

1/ Définition des objets : p-uplets

Expérience n°1 :

Tirages successifs avec remise.

* On pioche un premier jeton, par exemple : b et on le remet dans le sac. * On pioche un deuxième jeton, par exemple : a et on le remet dans le sac. * On pioche un troisième jeton, par exemple : a et on le remet dans le sac. parenthèses : ( b ; a ; a ) Les résultats possibles de cette expérience sont des listes de 3 éléments de E, avec répétition - Une liste de 3 éléments est appelée un triplet. - Plus généralement, une liste de p éléments est appelée un p-uplet ou une p-liste.

Attention !

Une liste respecte un ordre : ( b ; a ; a ) ( a ; a ; b )

1/ Définition des objets : arrangements

Expérience n°2 :

Tirages successifs sans remise.

* On pioche un premier jeton, par exemple * On pioche un deuxième jeton, par exemple * On pioche un troisième jeton, par exemple parenthèses : ( b ; a ; c ) Les résultats possibles de cette expérience sont des listes de 3 éléments de E, sans répétition

- Une liste de 3 éléments sans répétition possible est appelée un arrangement de 3 éléments.

- Plus généralement, une liste de p éléments sans répétition possible est appeléeun

arrangement de p éléments de E.

Remarques :

liste.

2) Un arrangement de p éléments de E est un cas particulier de p-

1/ Définition des objets : permutations

Expérience n°2 :

Tirages successifs sans remise.

on obtient alors une liste de tous les éléments de E rangés dans un certain ordre. Une telle liste est appelée une permutation des éléments de E. Par exemple : ( d ; b ; c ; a ) est une permutation des éléments de E.

Et : ( c ; a ; d ; b ) en est une autre.

Plus généralement est appelé

une permutation des éléments de E.

1/ Définition des objets : combinaisons

Expérience n°3 :

Tirages simultanés.

* On pioche trois jetons en une seule fois, par exemple : a, d et c. : a ; d ; c Les résultats possibles de cette expérience sont des sous-ensembles de E ou parties de E, possédant 3 éléments. Un sous-ensemble de E comportant 3 éléments est appelé une combinaison de 3 éléments de E.

Plus généralement, une partie de E possédant p éléments est appelée une combinaison de p

éléments de E.

- d ; a ; c a ; d ; c

Ils sont donc égaux.

Par conséquent, contrairement aux listes,

combinaison accolades,écriture réservée aux ensembles.

2/ Dénombrement : arrangements

mais le problème est maintenant de trouver combien on peut former de listes de ce type. Deux grandes techniques de dénombrement existent.

Voici la première de ces techniques,

appliquée au dénombrement des arrangements de 3 éléments

Technique de

Il y a 4 choix pour le

premier élément de la liste.

Puis, à chaque choix fait

pour le premier élément correspond pour le deuxième élément un même nombre de choix : 3. ( = nombre de choix possibles parmi les (4-1)

éléments

restants, car la liste est sans répétition )

Puis, à chaque choix fait

pour le deuxième

élément

correspond pour le troisième élément un même nombre de choix : 2. ( = nombre de choix possibles parmi les (4-2) éléments restants, car la liste est sans répétition )

En bout de branches,

nous récupérons les différents arrangements possibles. A chaque stade de choix, chaque branche " éclatant » en un même nombre de choix, les arrangements possibles sont au nombre de : 4x3x2 = 24.

Soit : (4-0)x(4-1)x(4-2).

Ou encore : 4x(4-1)(4-(3-1)).

Technique des cases :

" Fabriquer » un arrangement de 3 éléments de E, équivaut à remplir les 3 cases suivantes avec des éléments 2 à 2 distincts : Il y a 4 choix possibles pour le premier élément.

Puis le choix du premier élément étant fait, il reste 3 choix possibles pour le deuxième.

Et enfin, le choix des deux premiers éléments étant fait, il reste 2 choix possibles pour le dernier.

Remarque :

élément de la liste est connu ainsi que sa position. Cas général : soit un entier naturel n > 1, et soit p entier naturel tel que : 1 < p < n : Ap n Et en généralisant le raisonnement tenu sur le cas particulier, on a :

2/ Dénombrement : permutations

* Si p = n, on dénombre Sur notre cas particulier, en utilisant par exemple la technique des cases, existe : 4x3x2x1 permutations des éléments de E.

Soit : 24 permutations des 4 éléments de E.

Plus généralement, une permutation étant un arrangement de n éléments de E, il en existe :

Soit :

Cas général : pour tout entier n > 1

: n ! (se lit "factoriel n")

Avec :

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Comment dénombrer des objets?

Quels sont les tirages à dénombrer?

Comment dénombrer les élèves de la classe?

Comment dénombrer un problème?

COURS DE DENOMBREMENT

1/ Définition des objets : introduction Guesmi.B

Dénombrer,

A partir des éléments de cet

A la différence des sous-ensembles,

Dans les exercice

Le dénombrement

Remarques :

1) cardinal de E et noté card E = 4

2) les éléments de E sont 2 à 2 distincts, sinon

1/ Définition des objets : p-uplets

Expérience n°1 :

Tirages successifs avec remise.

Attention !

1/ Définition des objets : arrangements

Expérience n°2 :

Tirages successifs sans remise.

Remarques :

2) Un arrangement de p éléments de E est un cas particulier de p-

1/ Définition des objets : permutations

Expérience n°2 :

Tirages successifs sans remise.

Et : ( c ; a ; d ; b ) en est une autre.

Plus généralement est appelé

1/ Définition des objets : combinaisons

Expérience n°3 :

Tirages simultanés.

éléments de E.

Ils sont donc égaux.

Par conséquent, contrairement aux listes,

2/ Dénombrement : arrangements

Voici la première de ces techniques,

Technique de

Il y a 4 choix pour le

Puis, à chaque choix fait

éléments

Puis, à chaque choix fait

élément

En bout de branches,

Soit : (4-0)x(4-1)x(4-2).

Ou encore : 4x(4-1)(4-(3-1)).

Technique des cases :

Remarque :

2/ Dénombrement : permutations

Soit : 24 permutations des 4 éléments de E.

Soit :

Cas général : pour tout entier n > 1

Avec :