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Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Correction du DS 4* Exercice 1 : Orage et foudre (d"après CCP PSI 2015)

Q.1Tout plan contenant le pointOest un plan de symétrie de la distribution de charge. Pour un point

Mdonné, tous les plans passants parOetMsont donc plans de symétrie et contiennent le champ

électrique. L"intersection de ces plans contenantOetMdéfinit le vecteur radial?ur, donc le champ

s"écrit :?E=E(r,θ,?)?ur.

Par ailleurs, il y a invariance du problème par rapport aux coordonnéesθet?, donc le champ ne dépend

pas de ces coordonnées et on a finalement un champ de la forme :?E=E(r)?ur.

Q.2On applique le théorème de Gauss à une sphère de rayonrcompris entreR1etR2passant parMoù on

calcule le champ. La charge intérieure est donc celle de l"armature intérieure, soitQ. Le flux du champ

électrique à travers cette sphère vautΦE=E(r)·4πr2. Le théorème de Gauss s"écrit donc :

E(r)·4πr2=Qε

0soit?E(r) =Q4πε0r2?ur

Q.3Il faut calculer la circulation du champ sur un chemin entre les armatures intérieure et extérieure de

deux manières. Par définition du potentiel, on a : R2 R 1?

E·d??=-?

R2 R

1--→

gradV·d??=-? 2 1 dV=V1-V2 et d"après la question précédente, on a aussi : R2 R 1?

E·d??=?

R2 R

1Q4πε0r2?ur·dr?ur=Q4πε0?

1R 1-1R 2?

L"égalité donne :V1-V2=Q4πε0?

1R 1-1R 2? Q.4Par définition, on aQ=C(V1-V2), soitC=4πε0? 1R 1-1R 2?

Q.5SiQ >0, le champ électrique est radial vers l"extérieur et crée un vecteur densité de courant dans le

même sens.

Q.6On reprend la formule donnant la capacité du condensateur trouvée précédemment avecR1= 6370km,

R

2= 6370 + 80km, ce qui donne :C= 57,1mF.

Q.7En prenantE= 110V·m-1(valeur moyenne par beau temps, sensiblement constante dans l"électro- sphère) on obtient :U=V1-V2=eE?8,8MV. L"énergie stockée est alors :W=12

CU2?220GJ.

Q.8Par temps orageux, le champ électrique s"inverse : par beau temps, il est radial vers l"intérieur, et par

temps d"orage, il est radial de la terre vers le nuage.

Q.9L"éclair correspond à un claquage diélectrique interne au nuage. Un coup de foudre concerne sans doute

plutôt la Terre (même si le vocabulaire n"est pas toujours clair).1

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Q.10La foudre peut descendre ou monter, suivant le signe des charges mises en jeu entre la terre et le nuage

lors de la décharge.

Q.11Le champ vaut20kV·m-1sur une épaisseur de2000mentre terre et nuage, soit une différence de

potentielU= 40MV.

Q.12L"énergie véhiculée pendant une duréeΔtvaut (en supposant le courant et la tension constants) :W=

I·UΔt= 20GJ. Cette énergie ne mérite pas d"être récupérée. En effet, ce serait extrêmement compliqué

(phénomène frappant aléatoirement) pour une énergie relativement modeste (20GJest l"énergie délivrée

par une éolienne de5MWpendant une heure environ).

Q.13Le vecteur densité de courantj(r)s"exprime enA·m-2. Le courantIcorrespond au flux de?jà travers

une demi sphère de rayonrsur laquelle le modulejest uniforme :j(r) =I2πr2.

Q.14La loi d"Ohm locale dans le sol?j=γs?Edonne le champ électrique dans le sol :?E=I2πr2γs.

Q.15La définition?E=---→gradVprojetée sur?urdonneE=-dVdrqui s"intègre en tenant compte de la condition

limite :

V(r) =I2πrγs

Q.16On se place à la limite de l"électrocution. Entre les deux pieds, on trouve la différence de potentiel

maximale supportable grâce à la loi d"Ohm :Umax= ΘhImax. Par la question précédente, cette différence

de potentiel s"écrit : U max=I2πγs? 1D -1D+a? =I2πγsaD(D+a)= ΘhImax Q.17PourD?a, la relation précédente devient :ΘhImax?I2πγsaD

2, soit :D??Ia

2πγsΘhImax.

Q.18L"application numérique donne :D?110m. Les grands animaux sont plus touchés par ce phénomène

puisque leurs pattes sont plus éspacées. Ils sont donc soumis à des différences de potentiel plus grandes,

pour des résistances équivalentes. Q.19D"après ce qui précède, on aV(r) =I2πrγ, soitdU=V(r)-V(r+dr) =I2πγ? 1r -1r+ dr? ?I2πγdrr 2= dΘ

CI. On en déduit que

dΘ

C=dr2πγr2

Q.20La résistance totaleΘCde la coque correspond à l"association en série de toutes les résistances infinité-

simales calculée à la question précédente, soit en sommant : C=? Re R idΘ C=? Re R idr2πγr2=12πγ? 1R i-1R e?

Q.21La prise de terre est l"association en série de la résistance métallique puis du sol (coque hémisphérique

de rayon extérieur infini), soit une résistance globale : g=12πγm? 1R a-1R b? +12πγsRb2

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Q.22L"application numérique donneΘg= 47Ω. La législation n"est donc pas respectée dans le cas de cette

prise. Pour diminuer la résistance globale, il faudrait diminuer la résistance du sol qui est le terme

prédominant. Cela peut se faire en augmentantRb, c"est-à-dire en augmentant la surface de contact

métal-sol. Exercice 2 : Approximation des régimes quasi-stationnaires Q.1Les équations de Maxwell s"écrivent dans le cas général : div ?E=ρε

0(M-G)div?B= 0(M-flux)

rot?E=-∂?B∂t (M-A) Les formulations intégrales correspondantes sont : ?E·d?S=Qintε

0(théorème de Gauss)?

?B·d?S= 0(flux conservatif de B) ?E·d??=-ddt? ?B·d?S? ?B·d??=μ0Ienlace+μ0ε0ddt? ?E·d?S? (loi de Faraday) (théorème d"Ampère généralisé)

Q.2Le système est invariant par rotation autour de l"axe(Oz). Les champ ne dépendent donc pas de la

coordonnéeθ. Pour tout pointM, le plan contenantMet l"axe(Oz)est plan de symétrie du système,

donc contient le champ électrique. Le champ magnétique lui est en revanche orthogonal. Ainsi, le champ

électromagnétique est à priori de la forme : E(M,t) =Er(r,z,t)?ur+Ez(r,z,t)?uzet?B(M,t) =Eθ(r,z,t)?uθ

Q.3Le milieu inter-armatures est le vide, donc l"application du rotationnel sur l"équation de Maxwell-Faraday

donne : ?E=1c

2∂2?E∂t

2 soit en projection sur?uzet d"après la formule du laplacien donnée :∂2E∂r 2+1r ∂E∂r -1c

2∂2E∂t

2= 0.

Q.4En injectant la forme de la solution recherchée dans l"équation précédente, on trouve :

f ??(r) +1r f?(r) +ω2c

2f(r) = 0

Comme dfdr=dudrdfdu=ωc dfdu, il vient :f??(u) +1u f?(u) +f(u) = 0. Q.5L"équation de Maxwell-Faraday s"écrit dans le condensateur :-→rot?E=-∂?B∂t , soit avec le formulaire donné : -∂E∂r ?uθ

On en déduit queB(r,t) =-iE0ω

f?(r)eiωt.3

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Q.6L"équation de Maxwell-Ampère s"écrit :-→rot?B1

=1c

2∂?E0

∂t , soit comme?B1 est suivant?uθet qu"il ne dépend que deret det, on a en projection sur?uz: 1r ∂(rB1 )∂r =iωc

2E0eiωt=?B1

(r,t) =iωr2c2E0eiωt Q.7Il s"agit d"un phénomène d"induction (de Neumann). L"équation de Maxwell-Faraday donne : rot?E2 =-∂E2 ∂r ?uθ=-∂?B1 ∂t =?E2 (r,t) =-ω2r24c2E0eiωt

Q.8Le même raisonnement conduit à :B3

(r,t) =-iω3r316c4E0eiωtpuisE4 (r,t) =ω4r464c4E0eiωt. Q.9Le champ électrique dans le condensateur est la somme des différentes contributions, soit :

E(r,t) =E0

+E2 (r,t) +E4 (r,t) +...=E0?

1-ω2r24c2+ω4r464c4+...?

e iωt qui est bien le résultat attendu.

Q.10Le champ magnétique dans le condensateur est la somme des différentes contributions, soit :

B(r,t) =B1

(r,t) +B3 (r,t) +...=iE0?ωr2c2-ω3r316c3+...? e iωt=iE0c

ωr2c-ω3r316c2+...?

e iωt qui est bien le résultat demandé avecB0=E0c

Q.11On applique le théorème de Gauss à une surface cylindrique fermée contenant l"armature du bas (de

charge-Q0) et on ne retient que le terme dominant dans l"expression du champ électrique (à très basse

fréquence, le champ devient constant). On obtient :E0=-Q0ε

0SpuisB0=-Q0ε

0cS.

Q.12Le modèle du solénoïde infini consiste à négliger les effets de bords. Il est valide tant que sa longueur est

très grande devant son rayon. En négligeant les effets de bords, le système est invariant par symétrie le

long de l"axe(Oz)et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc a priori que

deret det. De plus, pour tout pointM, le plan passant parMet perpendiculaire à l"axe(Oz)est un

plan de symétrie des courants donc le champ magnétique lui est perpendiculaire enM. Finalement, le

champ magnétique est de la forme :?B(M,t) =Bz(r,t)?uz. Q.13En appliquant le rotationel à l"équation de Maxwell-Ampère, on trouve :∂2B∂r 2+1r ∂B∂r -1c

2∂2B∂t

2= 0. Il

s"agit de l"équation que le champ électrique vérifiait dans le condensateur.

Q.14Le rôle des champs électrique et magnétique est inversé par rapport à la partie précédente. On a donc :

B(r,t)≈B0?

1-u24 +u464 e iωt4 Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Q.15L"équation de Maxwell-Faraday donne : rot?E1 =1r ∂(rE1 )∂r ?uz=-∂?B0 ∂t =?E1 (r,t) =-iB0ωr2 eiωt soit par analogie avec ce qui précède :

E(r,t)≈ -icB0?u2

-u316 e iωt

Q.16Le théorème d"Ampère (non généralisé) n"est valable qu"en statique, c"est-à-dire en très basse fréquence.

L"application de ce théorème à un contour rectangulaire de longueurhquelconque, dont deux côtés sont

parallèles à l"axe(Oz)(un à l"intérieur du solénoïde et l"autre à l"extérieur), donne :B0=μ0nI.

Q.17La taille d"un montage électronique usuel est au maximum de l"ordre du mètre. Pour que l"approximation

proposée soit valide, il suffit quef?c2πr?10MHz. C"est une approximation légitime : il est rare de

travailler à de telles fréquences en électronique.

Q.18On a pour le condensateur :?

E?E0eiωt?uz

B? iE02cωrc eiωt?uθet pour le solénoïde :? E? - icB02

ωrc

eiωt?uθ

B?B0eiωt?uz.

Q.19Ainsi, pouru?1, on a :

•pour le condensateur :????EcB ????2cωr ?1 •pour le solénoïde :????EcB ????ωr2c?1

Q.20Pour le condensateur, on a :uem(r,t) =ε02

E20cos2(ωt) +12μ0c2?

ωr2c?

2

E20sin2(ωt).

Pour le solénoïde :uem(r,t) =ε0c22

B20?ωr2c?

2 sin2(ωt) +12μ0B20cos2(ωt).

Q.21D"après l"approximationu?1, il est possible de négliger la contribution magnétique à l"énergie dans

le condensateur, et la contribution électrique à l"énergie dans le solénoïde. On peut donc dire que le

condensateur est à dominante électrique et que le solénoïde est à dominante magnétique.

Q.22Dans le cas du condensateur, on a :?Π(r,t) =E204cμ0ωrc sin(2ωt)?uret pour le solénoïde :

Π(r,t) =cB204μ0ωrc

sin(2ωt)?ur.

Q.23On calcule dans un premier temps le flux du vecteur de Poynting à travers la surface portée par le

système, qui représente la puissance perdue suite à la propagation de l"énergie électromagnétique. Dans

le cas du condensateur, la seule contribution vient de la surface latérale, donc : P perdue=? sin(2ωt)5

Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP2020-2021Pour le solénoïde, on réalise ce bilan de puissance sur une portionhdu système. La seule contribution

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