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DERNIÈRE IMPRESSION LE17 avril 2023 à 9:20

Calcul intégral

Mesurer une surface plane délimitée par une ou plusieurs courbes.

Table des matières

1 Intégrale d"une fonction continue positive2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole. . . . . . . . 3

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Intégrale et primitive5

2.1 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Calcul d"une intégrale à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . 6

2.4 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Exemples d"intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Propriétés de l"intégrale8

3.1 Propriétés vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Intégrale et aire. Valeur moyenne10

4.1 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

1 Intégrale d"une fonction continue positive

1.1 Définition

Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle[a;b]. SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal(O,I,J).

On appelle

Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle construit à partir des points O, I et J. Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b. Ce qui se traduit par : a?x?bet 0?y?f(x)

Intégrale defsur [a;b]: la mesure de

l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.

On note :

b af(x)dx

1 u.a?

b af(x)dx O Cf IJ a b

Remarque :

?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. Elle peut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.

On peut ainsi écrire indistinctement :?

b af(t)dt,? b af(u)du Exemple :Soit la courbe d"une fonctionfsur[-2 ; 3], OI = 2 cm et OJ = 3 cm.

L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2.

Pour calculer?

3 -2f(x)dx, on s"aide du quadrillage, on a :

7 rectangles pleins

un demi rectangle en haut à gauche1 2 3-1-2-31 2OIJ un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rectangle.

On a alors :

3 -2f(x)dx=8,5 et l"aire du domaineA=8,5×6=51 cm2. Dans le cas général d"une fonction dont la représentation n"est pas une ligne bri- sée mais une courbe, on ne peut plus utiliser cette méthode de quadrillage. On encadre alors l"aire entre deux séries de rectangles. C"est l"objet de paragraphe suivant : méthode des rectangles.

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.2 MÉTHODE DES RECTANGLES:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole

Définition 2 :Quadrature de la parabole.

La quadrature de la parabole est le calcul de l"aire de la surface délimitée par un segment de parabole et une droite. Exemple :Encadrer l"aireAsous la parabole de la fonctionf:x?→x2sur[0 ; 1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles :

On divise [0; 1] ennparties.

Sur?i n;i+1n? , commefest croissante :

la valeur minimale estf?in?

la valeur maximalef?i+1n?

On obtient 2 rectangles de largeur1n

et de hauteursf?i n? etf?i+1n?

SoitSnetTnla somme des aires respec-

tives des rectangles inférieurs et des rec- tangles supérieurs 1 Oi nf ?i n?f?i+1 n? i+1 n1n2nnn=1...SuiteTn

SuiteSn

Algorithme :On automatise le calcul avec le

programme en Python suivant :

Pour A(100), on a : 0,328 35?A?0,338 35

Pour A(1000), on a : 0,332 83?A?0,333 83

Pour A(10000), on a : 0,333 28?A?0,333 38

deff (x) : returnx??2 defA(n) : s=0 ; t=0 foriin range(n) s=s+1/n?f ( i/n) t=t+1/n?f (( i +1)/n) returns , t Les suites(Sn)et(Tn)semblent converger vers 0,333 3... soit13 Démonstration :Montrons que(Sn)et(Tn)convergent vers la même limite.

Sn=1n?

2+?1n?

2 +?2n? 2 +···+?n-1n? 2?

12+22+···+ (n-1)2n3

Tn=1n?

?1n? 2 +?2n? 2 +?3n? 2 +···+?nn? 2?

12+22+···+n2n3=Sn+1n

On peut montrer par récurrence que : 1

2+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)

6 En appliquant cette formule à l"ordren-1, on obtient : 1

2+22+···+ (n-1)2=(n-1)n[2(n-1) +1]

6=n(n-1)(2n-1)6

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

On a alors :Sn=n(n-1)(2n-1)6n3=2n3-3n2+16n3=13-12n+16n2

Or lim

n→+∞-1

2n+16n2=0 par somme limn→+∞Sn=13

T n=Sn+1 net limn→+∞1n=0 par somme limn→+∞Tn=limn→+∞Sn=13

OrSn?A?Tn, d"après le th. des gendarmes :A=1

3u.a. d"où?

0x2dx=13

La calculatrice ti 83 :

0X2dX?Frac donne bien le résultat trouvé.

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive

Théorème 1 :Intégrale d"une fonctionfcontinue et positive sur I= [a;b].

On divise I ennparties égales.

Sur?

a+(b-a)in;a+(b-a)(i+1)n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Calcul intégral 17 avr. 2023 La calculatrice

DERNIÈRE IMPRESSION LE17 avril 2023 à 9:20

Calcul intégral

Table des matières

1 Intégrale d"une fonction continue positive2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole. . . . . . . . 3

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Intégrale et primitive5

2.1 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Calcul d"une intégrale à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . 6

2.4 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Exemples d"intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Propriétés de l"intégrale8

3.1 Propriétés vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Intégrale et aire. Valeur moyenne10

4.1 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

1 Intégrale d"une fonction continue positive

1.1 Définition

On appelle

Intégrale defsur [a;b]: la mesure de

On note :

1 u.a?

Remarque :

On peut ainsi écrire indistinctement :?

L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2.

Pour calculer?

7 rectangles pleins

On a alors :

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.2 MÉTHODE DES RECTANGLES:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole

Définition 2 :Quadrature de la parabole.

On divise [0; 1] ennparties.

la valeur minimale estf?in?

la valeur maximalef?i+1n?

On obtient 2 rectangles de largeur1n

SoitSnetTnla somme des aires respec-

SuiteSn

Algorithme :On automatise le calcul avec le

Pour A(100), on a : 0,328 35?A?0,338 35

Pour A(1000), on a : 0,332 83?A?0,333 83

Pour A(10000), on a : 0,333 28?A?0,333 38

Sn=1n?

2+?1n?

12+22+···+ (n-1)2n3

Tn=1n?

12+22+···+n2n3=Sn+1n

On peut montrer par récurrence que : 1

2+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)

2+22+···+ (n-1)2=(n-1)n[2(n-1) +1]

6=n(n-1)(2n-1)6

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1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

Or lim

2n+16n2=0 par somme limn→+∞Sn=13

OrSn?A?Tn, d"après le th. des gendarmes :A=1

3u.a. d"où?

0x2dx=13

La calculatrice ti 83 :

0X2dX?Frac donne bien le résultat trouvé.

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive

On divise I ennparties égales.

Sur?

Intégrale defsur [a;b]: la mesure de

7 rectangles pleins

la valeur minimale estf?in?

la valeur maximalef?i+1n?

On obtient 2 rectangles de largeur1n

Sn=1n?

Tn=1n?

On divise I ennparties égales.

Sur?